WiskundE-brief nr. 100 6 juni 1999


De WiskundE-brief is in de eerste plaats gericht op wiskundedocenten in het voortgezet onderwijs. Bedoeling is elkaar snel op de hoogte te houden van, en meningen uit te wisselen over voor hen relevante zaken, met enige nadruk op ICT en de tweede fase.
De redactie wordt gevormd door: Jos Andriessen en Gerard Koolstra.
Bijdragen zijn welkom via j.andriessen@hccnet.nl of G.Koolstra@cable.a2000.nl
De redactie behoudt zich het recht voor bijdragen in te korten of niet te publiceren.

Deze brief wordt gestuurd naar ca 540 adressen.
Oude nummers zijn te bekijken op: http://skyline.www.cistron.nl/wiskunde/brief/wb_main.htm


In dit nummer:

  1. Vooruitblik
  2. Discussie over examenopgave wiskunde-A VWO (1)
  3. Discussie over examenopgave wiskunde-A VWO (2)
  4. Discussie over examenopgave wiskunde-A VWO (3)
  5. Mersenne-priem nr 38 in aantocht
  6. Interessante sites


VOORUITBLIK
door Jos Andriessen

Komend schooljaar krijgen we allemaal te maken met een nieuw verschijnsel in de wiskunde : DE PRAKTISCHE OPDRACHT
Daarbij komen nogal wat aspecten de hoek om kijken waar we van elkaar kunnen leren.
Bijv. de presentatievorm, de organisatie , de beoordeling , wel of niet groepswerk , samenwerking met andere vakken en last but not least het onderwerp , gekoppeld aan de geschatte studielast-uren.
Het is mogelijk dat één wiskundedocent een of meerdere praktsiche opdrachten van a tot z ontwerpt en uitwerkt, dat een aantal wiskundedocenten van een school dit doen, of.... dat via de Wbrief groepen docenten worden gevormd van verschillende scholen die hieraan willen werken.
Ik zou het op prijs stellen als u over dit onderwerp mij een email stuurt met uw mening. Uiteraard kom ik hier dan over enige tijd in de Wbrief op terug.
Als u net als ik regelmatig internet verkent om te kijken war er zoal te vinden is over wiskunde dan herkent u vast dit gevoel: Er is zoveel te vinden dat je niet goed weet waar te beginnen. En als je dan bent begonnen ga je gauw kopje onder in de berg onderwerpen met hun verschillende toepassingsgebieden en hun uiteenlopend niveau. Het zou fijn zijn als er een bruikbare struktuur wordt opgebouwd én onderhouden waar al die internettoepassingen gekoppeld zijn aan de wiskundeonderwerpen uit de diverse profielen. Ook hierbij kunnen we als wiskundedocenten wat voor elkaar betekenen. Net als bij het onderwerp hierboven stel ik het op prijs als u mij hierover een email stuurt met uw mening. Ook op dit onderwerp kom ik over enige tijd terug.

REACTIES: j.andriessen@hccnet.nl


VWO examen wiskunde-A 1999 (1e periode), opgave 10
door Ton Lecluse
docent wiskunde aan Het Nieuwe Lyceum te Bilthoven

Het is de vraag of je significantie kunt aantonen met slechts een tekentoets. Deze gebruikt immers niet alle aanwezige informatie.
Wel is het zo, dat wanneer een tekentoets al tot significantie leidt, elke nauwkeurigere toetsmethode ook tot die conclusie leidt.
Bij deze opgave is het echter zo, dat tekentoets tot acceptatie van de nulhypothese leidt, en een voor de hand liggende toets met gepaarde waarnemingen wel aanleiding geeft tot significantie!

We bekijken per nest naar het verschil (onderste getal verminderd met bovenste getal):

1,7

-0,1

1,8

2,4

-4,7

0,1

6,8

5,5

-2,7

-0,1

1,8

1,8

-3,5

-0,7

10,2

3,1

0,9

-0,1

10,0

1,3

Indien we dit invoeren in ons rekenapparaat (een eenvoudige Casio), krijgen we met "shift-7" het gemiddelde d = 1,175 bij een ("shift-8")standaarddeviatie sn = 3,8089 en ("shift-9") sn - 1 = 3,9079.

We toetsen nu H0 : d = 0 eenzijdig tegen H1 : d > 0.
De testwaarde is dan :

1,175 - 0

= 1,3447

sn-1/ Ö 20

   

Bij een significantieniveau van 10% is de students-t waarde bij 19 vrijheidsgraden gelijk aan 1,33.
Indien men, in plaats van de students-t-waarde, de waarde uit de normale tabel haalt, is dit getal 1,28.
De testwaarde is groter dan die t-waarde.Dus is er sprake van significantie.

Een tweede methode
Een tweede, discutabele manier om de opgave te beschouwen is een poging om toch tot significantie te komen met een tekentoets.
Wie bovenstaande rij verschillen ziet, valt wellicht op, dat 4 van de 20 verschillen vrijwel nul zijn, en dat de echt grotere getallen in het voordeel van de alternatieve hypothese spreken. Indien we die 4 kleinste getallen ( 0,1 zou afkomstig kunnen zijn van 0,05) wegdenken, krijgen we uiteindelijk 16 getallen, waarvan er 12 positief zijn.
Laten we hier de tekentoets op los, dan krijgen we

H0 : p = 0,5 tegen H1 : p > 0,5

Stellen we het kritieke gebied K = {g, ..., 16} en eisen we P(X g) < 0,1
- dus P(X g - 1) > 0,9 - dan levert de binomiale tabel (n = 16, p = 0,5) op:
g - 1 = 11, dus g = 12, dus K = {12,..,16}.

Aangezien de tekentoets 12 successen oplevert, een waarde binnen K, is er sprake van significantie.


vraag 10 van het examen VWO WA
door Joan Voetelink atytekst@tip.nl

Ik heb moeite met vraag 10 van het examen VWO WA. Het gaat om het toetsen van hypothesen.
De vraagstelling luidt kort samengevat: Een onderzoeker neemt uit elk nest muizen dat op zijn lab ter wereld komt 2 jongen. De eerste 10 weken van hun bestaan krijgen beide dieren een gewoon dieet. Daarna krijgt een van de twee dieren een caloriearm dieet terwijl de andere muis doorgaat met het gewone dieet. Hij wil testen of de muizen met een caloriearm dieet langer leven.
Vervolgens wordt een tabel gegeven die heel duidelijk suggereert de tekentoets te doen. Van nest 1 leeft de muis met het gewone dieet 32,4 maanden en de muis met het speciale dieet 34,1 maanden. En dit voor 20 nesten.
Volgens mij is een tekentoets zeer discussieabel. De leeftijd die je gaat bereiken, ligt voor een deel vast in de genen, zoals onlangs in krantenberichten is uitgewerkt naar aanleiding van het verouderen van het kloonschaap Dolly. Nergens in dit vraagstuk staat dat het om tweelingmuizen met het zelfde genetisch materiaal gaat. Dus een tekentoets lijkt niet toepasbaar.

Ik zou een toets met H0: m = 33 ( s = 2,7/ Ö20 ) tegen H1: s > 33 ook goed willen rekenen, vooral omdat het gemiddelde en de sigma van de muizen met het gewone dieet goed overeenkomen met de oorspronkelijk gegeven mu en sigma. Het blijft natuurlijk een belachelijk kleine steekproef. Ik heb begrepen, dat bovenstaande niet in de normvergadering van de NvVW ter sprake is gekomen. Wij hebben dit in de regiovergadering in Arnhem wel besproken en geconcludeerd dat dit ook kan. Zijn wij zo blind aan het werken met data, dat wij zo'n tekentoets goed vinden? Misschien kan een echte statisticus of bioloog reageren.


Statistiek in VWO Wiskunde-A
citaat uit E-mail van dr B. van Putten
afdeling wiskunde Landbouw Universiteit Wageningen

Mijn motivering voor het gebruik van de Tekentoets op deze manier is de volgende: Het laboratorium-verhaal geeft de resultaten van een "echte proef"; het is niet verstandig om de "overall-informatie" van alle "gewoon-dieet-muizen-waar-dan-ook-ter-wereld-en-onder- welke-omstandigheden-dan-ook-en-van welke-soort-dan-ook" hier opeens geldig te verklaren: deze proef is misschien in een hete zomer gedaan met specifieke omstandigheden. Bovendien is het heel waarschijnlijk dat de onderzoeker muizen van een en hetzelfde soort heeft gebruikt (die er een EIGEN mu op na kunnen houden, verschillend van 33,0 maanden; dit is NIET in tegenspraak met de "overall"-mu!!), en niet een aselect van de straat geraapt zooitje muizen.

Men hoort dus GEEN gebruik te maken van de "algemene" informatie Normaal met mu=33,0 en sigma=2,7 maanden, maar de hier gegeven uitkomsten ook daadwerkelijk in rekening te brengen. Juist een proefopzet met veel gecontroleerde (lab-)omstandigheden kan ervoor zorgen dat ook relatief kleine verschillen in verwachte langere levensduur kunnen worden gedetecteerd (hoewel de conclusie dan ook formeel slechts betrekking heeft op het gebruikte soort muizen en niet op dat van de concurrentie of "overall"(=grijze)-muizen.
Het is daarom onvergelijkbaar beter om toch de waarnemingen van BEIDE muizen mee te nemen. Een andere reden waarom het HEEL verstandig zou kunnen zijn om de "echte" uitkomsten van de "gewoon-dieet-muis" mee te nemen (dus 32,4 enz.) (in plaats van alleen het gegeven Normaal verdeeld met mu=33,0 en sigma=2,7 maanden) is in het geval er een nogal STERKE (positieve) CORRELATIE zou bestaan tussen de waarnemingen uit één nest; bijvoorbeeld in het geval de beide muizen uit één nest ziek, zwak en misselijk zijn en "dus" gauw dood of juist beide erg taai en kras zijn (de laatste muizen komen kennelijk uit "een goed nest");


Mersenne priemgetal nummer 38 ?

Volgens een bericht van George Woltman van www.mersenne.org is op 1 juni j.l. "waarschijnlijk" het 38ste Mersenne priemgetal gevonden.
De exponent bedraagt meer dan 6 miljoen, en het aantal cijfers ongeveer 2 miljoen.
In verband met afspraken over verificatie en publicatie van de vondst kan het nog wel een paar maanden duren voor de vondst wordt bevestigd.

(met dank aan Dick Klingens)


Interessante sites

met o.a reacties op eindexamens
met het juni-nummer en on-line register.
naslagwerk over statistiek
Belgische site over Internet in de Wiskunde