WiskundE-brief nr. 220, 24-03-2002

De WiskundE-brief is in de eerste plaats gericht op wiskundedocenten in het Voortgezet onderwijs.
Bedoeling is elkaar snel op de hoogte te houden van, en meningen uit te wisselen over voor hen relevante zaken, met enige nadruk op ICT en nieuwe ontwikkelingen
De redactie wordt gevormd door Jos Andriessen en Gerard Koolstra.
Bijdragen zijn welkom via j.andriessen@hccnet.nl of we-b@xs4all.nl
De redactie behoudt zich het recht voor bijdragen in te korten of niet te publiceren. Deze brief wordt gestuurd naar meer dan 1200 adressen.
Archief is te bekijken via http://www.digischool.nl/wi/WiskundE-brief

in dit nummer:

- DE NORMALE VERDELING EN DE GR (reactie 1: samenvatting van 5 reacties)

- DE NORMALE VERDELING EN DE GR (reactie 2 )

- DE NORMALE VERDELING EN DE GR (reactie 3 )

- DE NORMALE VERDELING EN DE GR (reactie 4 )

- REGIONALE BIJEENKOMST ZWOLLE GAAT NIET DOOR


DE NORMALE VERDELING EN DE GR (reactie 1: samenvatting van 5 reacties)

De opmerkingen zijn afkomstig van Erik Korthof (Bonhoeffer College, Enschede), Fred Pach (Montessori Lyceum Amsterdam), Kees Lugthart, Hans Klein en Ton Lecluse (Het Nieuwe Lyceum, Bilthoven) .
Wat betreft het gebruik van de standaardnormale verdeling: ik (= Erik) heb de uitwerkingen van de hoofdstukken over de normale verdeling helemaal opnieuw gemaakt omdat het boek nogal veel tijd en moeite besteedt aan het standaardiseren en vervolgens gebruiken van de standaardnormale verdeling, compleet met fi-notaties. Een afzonderlijk uitwerkingenboekje voor TI-83 gebruikers is wenselijk. Men hanteert in de boeken nog helemaal het werkschema zoals dat bij gebruik van tabellen werd gehanteerd. Slechts zijdelings wordt het adequate gebruik van de GR aangeroerd. De TI-83 staat echter directe berekeningen aan een normale verdeling waarvan gemiddelde en standaardafwijking niet 0 en 1 zijn niets in de weg. Het wordt er alleen maar vlotter en gemakkelijker van! Voorbeeld: X is normaal verdeeld met P(X<3,8) = 0,96 en s = 0,4. Voer in Y1= NORMALCDF (-10^99, 3.8, x, 0.4) met XMIN = 0 , XMAX = 3.8, ZOOMFIT en Y2= 0.96 , dan vind je via GRAPH met INTERSECT het onbekende gemiddelde. Op deze wijze kan dus ook de grenswaarde en de standaardafwijking als variabele ingevoerd en vervolgens bepaald worden. Of, als bij gegeven m en s een flink aantal kansen van een normaal verdeelde toevalsvariabele moet worden berekend, dan werkt Y1 = NORMALCDF(-10^99, X, m, s), TBLSET op ASK en in TABLE (of via GRAPH en INTERSECT) X=A heel snel om P(X InvNorm en normalpdf kan gemist worden. Tabellenboekjes zijn hierdoor overbodig: waarom staan ze nog in WisforTA van de NvvW? Alleen een formulekaart uitgeven is toch veel goedkoper? Wisforta is alleen handig voor gebruikers, die de TI-83 faciliteiten niet aantreffen op hun GR. Maak dat dan ook duidelijk aan wiskundig Nederland. Een gevolg is dat van hoofdstuk S4 paragraaf 3 (Moderne wiskunde boek A3-1) niets overblijft, en van de opgaven daarna veel tussenstappen verdwijnen en ze direct het laatste onderdeel kunnen beantwoorden (of wellicht gewoon overslaan).
Wel kun je erop wijzen dat het er bij de normale verdeling om gaat hoeveel keer de standaardafwijking je van het gemiddelde zit, zoals ook blijkt uit de vuistregels. Het kan geen kwaad in dat verband een keer het begrip standaardnormale verdeling te noemen.
Binomiaal benaderen met normaal: Oude edities van de TI83 kunnen binompdf en binomcdf alleen met n<1000, daarna is dat verbeterd, de TI83+SE haakt pas af bij n=1 miljoen. Leerlingen met zo'n oude TI83 kunnen wellicht voor het SE en CE er een lenen van iemand uit een lagere klas. Of de docent houdt hier rekening mee met het samenstellen van zijn toetsen. Wellicht het Cito ook bij het eindexamen. Continuïteitscorrectie: Het boek hangt dit in eerste instantie helemaal op aan binomiale stochasten. Ten onrechte wellicht. Discrete stochasten die bij benadering normaal verdeeld zijn komen volop voor. Als we het erover eens zijn dat het gewicht van zakken drop normaal verdeeld is, dan is het aantal dropjes in die zakken ook bij benadering normaal verdeeld, en is het helemaal niet raar om 'meer dan 63 dropjes' te vertalen in 'X>63,5'. En als schoenmaten (discreet met stapjes van 1/2) bij benadering normaal verdeeld zijn, dan betekent 'maat 42 of kleiner' natuurlijk 'M<=42,25'. Dus wél behandelen, met wat eigen heldere voorbeelden, en uit het boek bijv. S5 opgaven T5, E6, G3 (de dagelijkse vraag naar fietsen is discreet, maar kan bij benadering, net als bijv. het dagelijkse waterverbruik, normaal verdeeld zijn).
Één type opgave wordt nu lastig, namelijk waarbij twee grenzen met overschrijdingspercentages gegeven zijn en gemiddelde én standaardafwijking berekend moeten worden (bijv. S4 opgave 24d: 4% onder 790 gram, 15% boven 840 gram). Hiervoor is juist het normaal waarschijnlijkheidspapier geschikt: teken hierop deze twee punten, trek er een rechte lijn door en lees via de 68%-vuistregel mu en sigma af (via 50% en 16%). Een kwestie van die sommen verplaatsen in het boek naar de bijbehorende theorie.
Het vervolgonderwijs behandelt de binomiale verdeling zeer summier en besteed wel degelijk aandacht aan de normale benadering. In vakliteratuur zal deze wel degelijk voorkomen. Sommige vragen kunnen nauwelijks met binomcdf worden opgelost.Maar de GR is ook een tussenstation zolang men niet de beschikking heeft over meer geschikt gereedschap (zoals SPSS op een PC?)
Naar aanleiding van Ton's stukje heeft Hans wat experimenten met de TI83 gedaan. Op grond van deze experimenten heeft hij de volgende opgave geconstrueerd. Uit deze opgave blijkt dat binomcdf voor grote waarden van n niet erg nauwkeurig meer is.
Iemand doet experimenten met een zuiver muntstuk. Hij is geïnteresseerd in de kans dat bij n worpen de hoogstens de helft van de worpen kop is.
a)Maak een tabel voor deze kans met n=5,6,7,8,9,10,11 en 12. (gebruik de tabelfunctie van je GRM)
b)Op grond van de tabel rijzen de volgende vemoedens:
-als n is oneven dan is deze kans 0,5
-als n is even dan is deze kans groter dan 0,5
Beredeneer dat deze vermoedens juist zijn.
c)Voor welke waarden van n geldt: deze kans is kleiner dan 0,51?
d)Kies n=900000 en n=900001. Bereken deze kansen met behulp van binomcdf en met de normale benadering(met continuiteits correctie). Wat valt je op?
e)Onderzoek vanaf welke waarden van n je binomcdf in dit geval niet al te erg meer moet vertrouwen.
Misschien zijn deze vragen om en uit te bouwen tot een practicum voor de leerlingen. Wellicht heb je dan zeker voldaan aan de geschrapte doelstenningen.De door Hans ontdekte onnauwkeurigheid bij grote n is wel verontrustend. Ik (=Fred) ben niet van plan mijn A-leerlingen daarmee aan het schrikken te maken. Maar voor B-leerlingen zou er een leuk onderzoekje van te maken zijn, er is vast wel bij TI te achterhalen welke benaderingsmethode de machine gebruikt.
Bij de B-profielen zijn de kansrekening gedeelten in deze boeken zijn vrijwel identiek. Ook hier kun je flink schrappen.

Wie nog wil reageren, kan een email sturen aan Ton Lecluse

DE NORMALE VERDELING EN DE GR (reactie 2)

Een paar opmerkingen m.b.t het oplossen van vragen over normale verdelingen m.b.v. een grafische rekenmachine.

  1. Helemaal eens met de opmerking dat tijd gewonnen kan worden door de mogelijkheden van deze apparaten te benutten, i.p.v. terug te vallen op de geijkte sjablonen van standariseren. De boeken en bijbehorende uitwerkingen e.d. wijzen wat dit betreft vaak de verkeerde route- maar dat geldt voor meer zaken die te maken hebben met de grm.
  2. Wat over deTI-83 wordt gezegd geldt in grote lijnen voor alle grafische rekenmachines. Wel is het bijv. op de Casio iets lastiger- maar zeer wel mogelijk - om een grafiek te laten tekenen van wat op de TI nomalcdf(o,b,m,s) heet, waarbij naar keuze een van de vier variabel is. Zo'n grafiek kan verhelderend zijn, maar mogelijk soms ook (als m of s variabel zijn) misleidend. Als het uitsluitend gaat om snel berekenen kunnen eventueel de programmeermogelijkheden van de betreffende grm benut worden: je vult de drie waarden die je weet in, en de vierde wordt berekend.
  3. Ik wil er voor pleiten om het kind (concept standaardnormale verdeling) niet met het badwater (onnodig omslachtige berekeningen) weg te gooien. Ik noem een paar argumenten :
    1. Je kunt allerlei kansen goed inschatten, bijv. zien dat bijv P(X>78) bij een gemiddelde van 70 en een sd van 1,4 te verwaarlozen is, maar bij een sd van 7 beslist niet.. Ook heb je snel een indruk welke uitkomsten significant zijn, en welke beslist niet.
    2. Bij een onderwerp als correleatie en regressierekening zijn z-scores heel krachtige middelen om de essentie van correlatiecoëfficient (Pearson) en het regressie-effect duidelijk te maken. Helaas is het onderwerp 'verdwenen' op het v.o., maar we moeten ook iets verder kijken dan het v.o.
    3. Sommige opgaven/problemen laten zich wat minder makkelijk oplossen met de nomalcdf(o,b,m,s) aanpak. Bijv: als je twee overschrijdingskansen weet (en dat er een normale verdeling in het spel) is .
      Het laten berekenen van de bijbehorende z-scores is echter een fluitje van een cent, en wannneer de betekenis hiervan helder is, is de sd en daarna het gemiddelde makkelijk te berekenen. (Dat wil niet zeggen dat er geen andere manieren zijn -zoals normaalwaarsch. papier )
    4. (samenvattend) Mits verstandig gebruikt hebben de leerlingen iets beter door waarmee je bezig bent., en mede daardoor kunnen ze vermoedelijk ook beter omgaan met vragen die net even anders zijn, en met zaken die ze na het eindexamen tegenkomen
Gerard Koolstra (St Michael College Zaandam )


DE NORMALE VERDELING EN DE GR (reactie 3 )

Niet elke discrete verdeling is meteen ook een binomiale verdeling, dus als het er om gaat een discrete verdeling te benaderen met een normale verdeling zul je toch eindtermen 145 en 146 moeten handhaven. Wat betreft de "wiskunde-verkrachting": soms glijdt het taalgebruik in de wiskunde wat af: We weten inmiddels allemaal dat met "de lijn y=2x+1" wordt bedoeld "de lijn met vergelijking y=2x+1". Natuurlijk is een discrete stochast niet normaal verdeeld, maar dat is de lichaamslengte van 13-jarige meisjes ook niet, normale verdelingen zijn altijd modellen en worden gebruikt als benadering voor de werkelijkheid.
Strikt genomen zou je als model voor het aantal kelkbladeren van de ranonkelsoort een multinomiale verdeling op de getallen 1, 2, 3, ..., n moeten kiezen, waarbij de n en de kansen p1 tot en met pn uit een flink aantal waarnemingen kunnen worden geschat of zoiets. Deze onbekende kansverdeling kan dan met en normale verdeling met geschatte parameters worden benaderd en daar gaat het om, dus dan maar kortsluiten. Niettemin zou een mooiere formulering zijn geweest: "Uit onderzoek is gebleken dat dit aantal A mag worden benaderd met een Norm(4,9940;0,2487)-verdeelde stochast", maar dan zou dat eigenlijk overal waar normale verdelingen worden gebruikt zo moeten worden geformuleerd.
Met vriendelijke groeten,Wout de Goede, University of Groningen, wdg@math.rug.nl --------------------------------------------------------


DE NORMALE VERDELING EN DE GR (reactie 4 )

In de brief houdt Ton Lecluse een pleidooi om stukken wiskunde uit het boek over te slaan. Ook vraagt hij of collega's een oplossing voor dit probleem hebben gevonden. Zelf gebruik ik MW. Alleen doe ik de wiB. In B1 dl 5 staat ook de gehele stof over de normale verdeling enz. Ook maken mijn leerlingen gebruik van de TI-83.
Ik weet uit betrouwbare bron dat het maken van een functie met b.v. normalcdf op de CASIO niet kan. Dus voor die leerlingen kan het onderdeel standaardiseren niet vervallen. Wat doe ik zelf met mijn leerlingen?
Het zijn zo'n beetje de laatste hoofdstukken die behandeld worden. In dit stadium laat ik de leerlingen volkomen zelfstandig de hoofdstukken doornemen. Ik zeg er niet bij wat geschrapt moet of kan worden. Ze moeten dit zelf beslissen. Ik vind dat ze in principe alle stof moeten doorwerken. Ook haal ik er geen tijdwinst uit als ik delen zou schrappen. In mijn klassikale momenten gaan we met z'n allen een probleem te lijf. Daarin wordt ahw de stof uit de doeken gedaan. Met die aantekeningen en het boek erbij moeten ze zelf de stof verder doorwerken. De praktijk leert dat ze meestal een hoofdstuk achterlopen bij de werkwijzer. Maar daar maak ik me niet druk over. De toets van eind januari zorgt ervoor dat ze dan alles wel bestudeerd hebben. Het gaat mij er meer om dat de leerlingen een stuk stof zelfstandig zich moeten eigen maken.
Juist dit onderdeel, statistiek, leent zich daar goed voor. Ik besteedde zelfs aandacht aan normaal waarschijnlijkheidspapier. Een koud kunstje voor B leerlingen om dit onder de knie te krijgen. Dat deed ik in de les, gewoon extra. Ook heb ik eens met de klas samen gekeken naar de tabellen in Wisforta. Wat kun je daar nu mee. Het leukste was dat ik er door de leerlingen pas achter kwam hoe handig de Z-test werkt.
Die zit ook op de GR TI-83. Leuk toch. Als je naar de eindtermen kijkt en de formulekaart erbij legt, dan kan alleen een toets gedaan worden met de normale verdeling. Op de formulekaart staat de wortel-n-wet niet.
Toch heb ik die gewoon in mijn dossietrtoets afgevraagd. Ik vind het belangrijk dat leerlingen met deze wiskunde overweg kunnen. Het centrale examen is voor mij niet heilig. De handigheidjes die je met de GR kunt uithalen met y1=normalcdf(a,b,c,d) heb ik natuurlijk wel vertelld. maar dat is voor mij geen einddoel.
Ik hoop dat ik met dit stukje een kleine bijdrage heb geleverd aan de discussie die Ton Lecluse aanzwengelt.
Groeten van Rob van Oord van.oord@wxs.nl


REGIONALE BIJEENKOMST ZWOLLE GAAT NIET DOOR

De regionale bijeenkomst van de NVvW gepland op 26 maart te Zwolle - gaat vanwege gebrek aan belangstelling niet door
bestuur NVvW


WiskundE-brief
redactie Jos Andriessen en Gerard Koolstra
e-mail: j.andriessen@hccnet.nl of g.koolstra@chello.nl