X-Sender: gerardk@xs4all.nl

X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Light Version 3.0.2 (32)

Date: Mon, 25 Aug 1997 22:15:53 +0200

To: Abonnees WiskundE-brief van <gerardk@xs4all.nl>

From: Gerard Koolstra <gerardk@xs4all.nl>

Subject: WiskundE-brief nr. 31

 

 

=============== WiskundE-brief nr. 31 ========== 24 aug. 1997 ============

OPZET

De WiskundE-brief is in de eerste plaats gericht op wiskunde docenten in

het voorgezet onderwijs. Bedoeling is elkaar snel op de hoogte te houden

van, en meningen uit te wisselen over voor hen relevante zaken, met enige

nadruk op ICT en de tweede fase.

De redactie wordt gevormd door: Jos Andriessen en Gerard Koolstra.

Bijdragen zijn welkom via andriess@concepts.nl of gerardk@xs4all.nl

Deze brief wordt gestuurd naar ca. 190 adressen.

Oude nummers zijn te bekijken op:

http://www.telebyte.nl/NotreDame/wb/wb_main.htm

============================================================================

======

In deze WiskundE-brief:

- Korte Inleiding

- computeralgebra: afhouden of omarmen ?

----------------------------------------------------------------------------

INLEIDING

Na een onderbreking van ongeveer twee maanden is het de hoogste tijd voor

een nieuwe WiskundE-brief. De scholen gaan binnenkort beginnen of zijn al

gestart.

Vlak voor de vakantie nodigden we u uit te reageren op het artikel van

Mieke Abels over algebraische vaardigheden. Het is misschien goed de laaste

Nieuwe Wiskrant erbij te pakken (of anders de vorige WiskundE-brief). We

weten dat er veel onbrede op dot gebied is en verwachten dan ook een stroom

bijkdragen. De redactie van de Nieuwe Wiskrant heeft toegezegd naar

aanleiding van deze reacties op dit onderwerp terug te komen.

De vraag naar gewenste algebraische vaardigehden en hoe die te bevorderen

heeft alles te maken met de vraag op welke termijn we apparaten en

programma's die symbolisch kunnen rekenen (dus bijv (3x-7)(8-2x)=7 kunnen

oplossen) gaan toestaan in het voortgezet onderwijs. De hoogste tijd om

daar in bredere kring eens over van gedachten te wisselen!

 

WAT MOETEN WE MET COMPUTERALGEBRA ?

Het bestuur van de Ned. Ver. van Wiskundeleraren organiseert sinds kort

bijeenkomsten met een groep mensen afkomstig uit met name voortgezet

onderwijs, lerarenopleidingen en universiteiten.

Van de eerste bijeenkomst van deze adviesgroep (de "Raad der Wijzen") komt

een verslag in het septembernummer van Euclides.

In deze WiskundE-brief alvast een (korte en persoonlijk gekleurde)

samenvatting met het doel reacties uit te lokken.

 

* * *

 

Het onderwerp was de symbolische rekenmachine (zoals de TI-92) die niet

alleen grafieken kan tekenen, en oplossingen kan benaderen, maar exacte

oplosingen kan geven, primtieven en afgeleiden bepalen, ontbinden, enz. enz.

(vergelijkbaaar met software als Derive, Maple of Mathematica)

Men spreekt in dit geval vaak van "computer algebra"

 

Dit soort "rekenmachines" kosten nu een paar honderd gulden en zijn

binnenkort goed betaalbaar. De vraag die aan de Raad werd voorgelegd was:

"Wat zijn de gevolgen voor

- de te behalen kennis en vaardigheden van de leerlingen,

- voor het soort vragen dat op examens gesteld gaat worden,

- voor de rol van docenten in het algemeen, voor de oudere docenten in het

bijzonder?"

 

In de discussie werden over de eerste twee vragen o.a. de volgende

opmerkingen gemaakt:

* Axiomatisch denken en deduceren weer belangrijker

* Minder tijd nodig voor formulemanipulatie, meer tijd voor

onderzoek,experimenteren, werken met modellen, wel meer begrip nodig

* Het gaat om vragen als de inhoud van het wiskundeonderwijs als de

computeralgebra wordt ingvoerd. Dit heeft ingrijpende consequenties.

Denktank nodig i.pv. een experimentje.

* Mogelijk examens te splitsen (zoals in Schotland): deel zonder en deel

met geavanceerde apparaten.

 

Over de laatste vraag werd o.a. opgemerkt:

* Docenten die niet willen veranderen krijgen het moeilijk

* Misschien moet voor de technologische vernieuwingen een beroep worden

gedaan op jongere docenten

* Er zijn (bij mij op school) weinig docengen die affiniteit met computers

hebben

- er wordt tegenwoordig erg veel van de wiskundeleraar gevraagd

* Wat moet ik (ook al krijg ik 30 machines) morgen met computeralgebra in 4

VWO ?

* Ze willen best nieuwe dingen maar er moet wel ruimte voor zijn

* Overschat de mogelijkheden en de capaciteiten van de gewone leraar op

de scholen niet

 

De discussie ging echter vooral over het tempo en manier van invoering.

Er waren grofweg gezegd twee standpunten:

 

1) Je moet dit soort ontwikelingen moet je positief tegemoet treden.

Het is heel kunstmatig deze mogelijkheden niet te gebruiken.

Het geeft tal van nieuwe mogelijkheden, nieuw leven in het vak

Je moet niet bang zijn en durven "in het diepe te springen"

We moeten aan de slag en liefst vandaag nog starten.

Het is van belang dat zoveel mogelijk docenten zich gaan voorbereiden, en

niet alleen een paar didactische autoriteiten

Als we niet goed reageren dan zou wiskunde als schoolvak wel eens kunnen

verdwijnen (vergelijk de voorspelling van Freudenthal)

In de volgende druk (2002) moet de computeralgebra in de boeken.

 

2) Het gaat om ingrijpende veranderingen, die veel tijd, studie overleg en

scholing vragen.

De grafische rekenmachine moet op de meeste scholen nog ingevoerd worden,

pas als dat goed is gelukt komt de volgende stap: werken met computeralgebra.

Er moet uitgekeken worden dat er niet te veel van de leraren wordt gevraagd

Kunnen de docenten het wel bijhouden ?

Invoeren in 2002 wordt een ramp

Het tweede standpunt werd vooral door het bestuursleden van de vereniging

naar voren gebracht.

De discussie heeft in ieder geval (naar goed nederlands gebruik) geleid tot

het oprichten van een Adviescommissie Computeralgebra en Symbolische

Rekenmachine door de vereniging.

 

 

Om de ingrijpende gevolgen voor het wiskunde-onderwijs wat concreter te

maken heeft redacteur Jos Andriessen het onderwerp goniometrie gekozen met

gebruikmaking van de GSR(Grafisch Symbolische Rekenmachine).

Let wel deze voorstelling is subjectief en louter bedoeld om de discussie

handen en voeten te geven.

 

* * *

Goniometrie met de GSR.

 

Uitgangspunt is dat leerlingen in de tweede/ begin derde klas gewerkt hebben

met grafieken van eerste- en tweede graadsfuncties op de GSR. Ze hebben

inmiddels ook inzicht gekregen in de effecten van de bekende transformaties

(transleren en vermenigvuldigen) . Dank zij de GSR kan dat voor dit soort

functies halverwege de derde klas worden afgerond. De GSR biedt immers de

mogelijkheid om grafieken op het display te tonen en via het trial and error

systeem is dit gedeelte een stuk minder tijdrovend geworden terwijl het

inzichtelijker veel meer aanspreekt.

Het begrip sinus en cosinus wordt als vanouds geintroduceerd dmv de

eenheidscirkel vooraf gegaan door definitievorming mbv een rechthoekige

driehoek. Ook de conversie van graden naar radialen naar lengte cirkelboog

moet doorlopen worden, waarna de rest van deze goniofuncties opgehangen kan

worden aan de bijbehorende grafieken. Met de GSR kan bijv. eerst grafisch

bepaald worden dat er meerdere oplossingen zijn voor de vergelijking sin(x)

= 1/2 . Grafisch kan geschat worden welke x-waarde(n) voldoen, met het

SR-gedeelte kan de exacte oplossing worden opgeroepen (commando: solve..).

Het periodiek zijn volgt haast vanzelf uit het GR-gedeelte en kan

gemakkelijk worden toegelicht mbv eenheidscirkel. Mijns inziens kan het

gedeelte van de 0-30-45-60-90 graden met bijbehorende exacte (wortel)

uitkomsten nu vervallen. Een goed werkend SR-gedeelte kan dit overigens wel

aan !

De grote verandering komt nu: met de reeds bekende techniek van

transformaties bij grafieken is de overstap naar functies als y =

3sin(7x+25,8) - 1,6 niet groot . Vergelijkingen van het type 3sin(7x+25,8)

- 1,6 = 5x kunnen op dezelfde manier worden aangepakt als sin(x) = 1/2 .

Het oplossen van ongelijkheden gaat daarna volgens een a l g e m e n e

grafische basistechniek. De aanpak van x^2 - 3x > 5 - 2x met de GSR is

hetzelfde als bij 3sin(7x+25,8) - 1,6 > 5x : Grafieken van linker- en

rechterlid met GR-gedeelte, snijpunten met SR-gedeelte. Eigen inbreng is er

natuurlijk wel als het gaat om niet verwachte (wellicht onmogelijke)

oplossingen en indien het antwoord niet volledig is, wanneer bijv.

periodiciteit een rol speelt.

Het vervolg van de goniometrie in de bovenbouw kan op deze manier worden

voortgezet. Stel dat bewijsvorming geent kan worden op de GSR. Dan wordt het

aantonen van sin(2x)=2sin(x)cos(x) een kwestie van grafiek_ linkerlid

vergelijken met grafiek_rechterlid (GR-gedeelte) en toetsing van deze

stelling mbv het SR-gedeelte. Heel verrassend is deze aanpak bij

y=sin^2(x) + cos^(x) en bij y = cos^2(x) - sin^2(x)

De goniometrie krijgt met de GSR veel meer het karakter van periodiciteit en

veel minder van formule-manipulatie (met bijhorend leerwerk). Omdat het

SR-gedeelte in staat is om primitieves te bepalen van gonio-functies komt

bovenstaande aanpak tzt niet in botsing met dit onderdeel.

Een uitbreiding van periodieke functies met bijv. zaagtand-functies is

overigens met de GSR denk ik nu ook mogelijk.

De redactie roept abonnees op om te reageren op het gebruik van GSR door

alle leerlingen in de wiskundelessen. We roepen u met name op om het

mogelijke gebruik van de GSR bij andere schoolwiskunde onderwerpen toe te

lichten. Dit levert dan een reeks artikelen op in de WiskundEbrief door

mensen uit de dagelijkse lespraktijk. Voor- en tegenstanders maar ook

twijfelaars : uw bijdragen zijn van harte welkom bij de redactie !

-----------------------------------------------------------------------------

 

 

WiskundE-brief

redactie Jos Andriessen en Gerard Koolstra

E-mail andriess@concepts.nl of gerardk@xs4all.nl