WiskundE-brief nr. 311 9 mei 2004

De WiskundE-brief is in de eerste plaats gericht op wiskundedocenten in het Voortgezet onderwijs.
Bedoeling is elkaar snel op de hoogte te houden van, en meningen uit te wisselen over voor hen relevante zaken, met enige nadruk op ICT en nieuwe ontwikkelingen
De redactie wordt gevormd door Jos Andriessen en Gerard Koolstra.
Bijdragen zijn welkom via j.andriessen@hccnet.nl of we-b@xs4all.nl
De redactie behoudt zich het recht voor bijdragen in te korten of niet te publiceren. Deze brief wordt gestuurd naar meer dan 1600 adressen.
Het archief is te bekijken via http://www.digischool.nl/wi/WiskundE-brief

in dit nummer:

WISKUNDE HAVO EN VWO, WAT IS WIJSHEID...REACTIES

WISKUNDEWANDELING


WISKUNDE HAVO EN VWO, WAT IS WIJSHEID...REACTIES

Er zijn diverse reacties gestuurd op de artikelen over de aansluiting VO-HO/WO voor wiskunde uit de vorige WiskundEbrief.
Bij de richting die de komende jaren gekozen gaat worden voor wiskunde is het belangrijk dat uw mening -de mening van de docent die midden in de praktijk staat- goed belicht wordt. De reacties worden in brede (wiskundige) kring gelezen en dragen zodoende bij aan de invulling van het leerprogramma.
De redactie roept u daarom op uw bijdrage/mening over dit onderwerp naar de WiskundEbrief te sturen: j.andriessen@hccnet.nl of we-b@xs4all.nl
Denkt u ook aan het insturen van de mini- enquete (WiskundEbrief 310) , te richten aan: Bram Theune, actheune@zeelandnet.nl
De uitslag van de enquete wordt in de volgende WiskundEbrief gepubliceerd.
Hieronder treft u -integraal- de inmiddels ontvangen bijdragen.


De crux van het artikel van Bram Theune vind ik hem zitten in de zinsnede “Je kunt je overigens afvragen of dit wel een juiste handelswijze is”. Ook in mijn beleving is de Tweede Fase mede op initiatief van het hoger onderwijs ontstaan. Althans, de roep om een betere aansluiting en betere vaardigheden (en dan met name onderzoeksvaardigheden). In ieder geval is het één van vele doelen geweest Het lijkt er op dat die vaardigheden inderdaad beter zijn. Het is maar één observatie, maar de kwaliteit van werkstukken (niet alleen tekstueel en qua uiterlijk, maar ook qua argumentatie en systematische opbouw) lijkt te zijn toegenomen. Dat dit ten koste gaat van iets anders is natuurlijk niet zo gek, het kan niet én én. Om die reden vindt ik het geweeklaag over gebrek aan kennisniveau niet helemaal eerlijk. Als dan ook nog eens de aangeleerde vaardigheden (rekenmachine, formulebladen) verboden worden, vind ik dat onterecht. Het kan natuurlijk anders, maar laat HO en VO dan gezamenlijk (eigenlijk ook nog eens met het basisonderwijs) overeenstemming bereiken over de aan te leren vaardigheden. Dat lijkt nu niet in voldoende mate gebeurd. Er speelt nog iets mee: veel universiteiten hebben de vereiste instapeisen van diverse studies ‘verlaagd’. Dit was een praktische noodzaak, omdat sommige studies anders te weinig aanmeldingen zouden hebben gekregen. In ieder geval te weinig om rendabel te zijn. Dus eerst de norm zelf verlagen, en daarna klagen dat die normen zo laag zijn. Ik vind het feit dat de toetsen in het HO goed aansluiten op het onderwijs van 15 jaar geleden dan ook eerder een teken van de passiviteit van het Hoger Onderwijs dan een teken dat het VO toen zoveel beter was. Overigens zijn er ook veel instellingen die wél hebben gewerkt aan een betere aansluiting.
Tenslotte nog een woord over algebraïsche vaardigheden. Wordt het niet eens tijd om eens goed –als wiskundegemeenschap- na te denken wat we nou eigenlijk met ons onderwijs willen bereiken. Wat zijn algebraïsche vaardigheden eigenlijk? Verstaan we daar allemaal hetzelfde onder? Is dat ook trucjes leren (wat in het HO ook nog vaak verlangd wordt)? Waarschijnlijk niet. Maar wat dan wel? En hoe kunnen we dat bereiken? Er is hier enkele jaren ooit een discussie over geweest (en ook een discussiestuk van de algebra werkgroep van de nvvw), maar echt een standpunt –zo die al te formuleren is- is er nooit gekomen. Zo kunnen we het hebben over de positie van de Grafische Rekenmachine. Moet alles ook exact gevraagd worden of niet? Of moeten we kijken welke kritische vragen –die eerst buiten bereik lagen- nu wél gesteld kunnen worden. Dat moet toch ook kunnen leiden tot de zo zeer gewenste “analytische methode”. Zoeken naar twee getallen “die samen 6 en vermenigvuldigd 8 zijn” zou je toch moeilijk onder de categorie “doordenker” kunnen scharen.
Ik het met Bram eens dat wiskunde niet draait om de taligheid van uiteenlopende formuleringen. Ook ik geef de voorkeur aan “een mooie integraal”, maar ook dan moet wel weer duidelijk zijn “waar we het voor doen”. Gaat het om de verwondering? Of is het iets anders?
Ik stuur bij deze ook nog de ingevulde enquête mee.
MVG Christian Bokhove Docent wiskunde/informatica st. Michael College Zaandam en betrokken bij aansluiting VWO-Vrije Universiteit


Even een paar reacties op de discussie die jullie hebben opgeroepen rondom de aansluiting tussen VO en HO/WO. Dit jaar ben ik voor het vierde jaar onderwijs aan een vrije school in Haarlem. In de eerste twee jaar ben ik ook docent geweest aan de Vrije Universiteit te Amsterdam aan de faculteit exacte wetenschappen.
Allereerst een paar nuancerende opmerkingen:
- aan universiteiten klaagt men altijd steen en been over het nivo van de vwo leerlingen. Ook VOOR de invoering van de tweede fase heb ik menig universitair docent horen klagen over het algebraische nivo van leerlingen. Dat komt omdat er veel professoren lesgeven aan universiteiten, die al jarenlang dezelfde colleges verzorgen en niet graag wijzigingen doorvoeren. Er zijn wel een aantal goedwillende doctoren/professoren verantwoordelijk voor het onderwijs, maar degenen die het moeten uitvoeren doen liever onderzoek. In sommige gevallen is het onderwijsnivo abominabel slecht en dit lijkt bijzonder weinig prioriteit te hebben.
- Dat op vele hbo's en universiteiten geen formulekaart/GR mag worden gebruikt is laakbaar. Dat is geen kwestie van zwarte pieten toesteken. Men moet op die instituten worden wakkergeschud, i.p.v. het probleem weer bij het VO terug te leggen.
- Wat betreft het routinematig handelen dat wat naar de achtergrond is geschoven: HOERA! Ik heb mij zelf op de middelbare school suf geergerd aan het eindeloze functieonderzoek. Op universiteiten is dat ook nergens voor nodig. Wat betreft het oplossen van vergelijking: mee eens, dat mag best weer wat meer aandacht krijgen. Het eindeloze 'gepiel' met een GR is naar mijn idee nergens goed voor en vergroot in ieder geval niet het inzicht van de leerlingen.
- Jos schrijft 'het is moeilijk om kwalitatief gelijkwaardige examens (CE) te produceren', dit mag naar mijn idee nooit een argument zijn de inhoud van het SE te wijzigen.
Wat betreft de vernieuwingen die op komst zijn: daar ben ik een groot tegenstander van. Vooral het wegstrepen van een groot aantal studielasturen voor wiskunde B12 en het vergroten van het aantal SLU voor vwo CM vind ik onbegrijpelijk (hoewel ik me de argumenten van een simplistische manager wel kan bedenken). Wil je de aansluiting bevorderen dan is het naar mijn idee nu de beurt aan hbo's en universiteiten. Zij moeten de uitdaging aangaan op een andere manier te gaan lesgeven. Ik zou zeggen: huur een paar docenten uit het VO in om een aantal structurele wijzigingen door te voeren. Ik denk dat dat een groot deel van de aansluitingsproblemen zouden oplossen. Zolang iedereen in zijn eigen gebiedje blijft zwemmen komen we nooit samen op het droge.
De veranderingen die de Tweede Fase hebben gebracht zijn naar mijn idee grotendeels een goede zaak. De wiskunde is er nadat ik 10 jaar geleden eindexamen heb gedaan beduidend leuker op geworden. Niet het feit dat er veel praktische toepassingen zijn, maar vooral de aandacht voor 'onderzoekende wiskunde' zijn een verademing. Wil men ook de praktische toepassingen propageren dan moet dat minder een 'hap-snap' gebeuren zijn. Dus kies een aantal praktische problemen uit waarin veel relevante wiskunde voorkomt en werk daar eens een aantal weken aan. Niet elk sommetje een andere toepassing. Dat maakt leerlingen murw.
Wat betreft het uitleggen van het de verschillen tussen 'bereken exact' en 'bereken' enzovoort t.o.v. een mooie integraal. Natuurlijk vind elke wiskundige een integraal mooier dan allerlei 'irrelevante' terminologie. Daarom zou naar mijn idee het gebruik van de GR moeten worden teruggedrongen voor m.n. wiskunde B leerlingen. Daarintegen is er nu voor het eerst aandacht voor de betekenis van integreren in termen van Riemann-sommen. Dat was vroeger niet echt het geval. Dat soort dingen lijken mij veel interessanter dan de uitkomst van de integraal zelf. Bovendien ligt daar naar mijn idee meer de kern van wat eigenlijke wiskunde is: het waarom der dingen, het intuitief aanvoelen wat er moet gebeuren, niet zozeer het berekenen van de uitkomst van de integraal of het kunnen nalopen van vaste algoritmen, maar het gevoel krijgen voor het 'ritme' in een bewijs.
Voor nu laat ik het hier bij. Ik hoop dat dit een bijdrage is waar jullie wat mee kunnen. Maar vooral hoop ik ervoor te pleiten binnen de situatie wijzigingen door te voeren die de aansluiting bevorderen in plaats van wederzijdse klaagzangen te houden. Zowel universiteiten als middelbare scholen moeten vooral meer oog krijgen voor elkaar.
Vriendelijke groeten, Mike Bakker


Als reactie op uw bijdrage aan de wiskunde-e-brief 310 het volgende: Ik denk niet dat het goed is om de huidige examens ongewijzigd als uitgangspunt te nemen, om 2 redenen:
A) In de huidige examens is de verhouding tussen reproductie van basisleerstof en vragen die boven het direct herkenbare wel ongeveer goed. De vragen waarvoor een strategie moet worden bedacht zijn van voldoende niveau. De vragen over basale technieken zijn de laatste jaren echter zo eenvoudig dat het te vaak op pure reproductie lijkt van meestal het eerste deel van de opgaven van een nieuw onderwerp in de methodes. Bijvoorbeeld de extremen berekenen van f(x) = x + 4/x (2003-II) Deze 60 % moet m.i. iets meer niveau hebben.
B) In de kerndoelen van het vwo-wb1-programma staat ook een stuk meetkunde, twee- en drie-dimensionaal. Dit stofgedeelte is niet uitgesloten van de centrale examens. Maar in de hele tweede-fase-periode is er nog NIETS van afgevraagd. Dat is vreemd, want het gaat m.i. om een stofdeel dat voor veel opleiddingen belangrijk is. Te meer nu steeds meer technische opleidingen met Wb1 genoegen nemen. Ik kan me niet voorstellen dat deze stof niet belangrijk is om te laten besturen.
E. Schimmel.


Beste Jos:
Aangehecht een aantal alinea's die ik (o.a. voor het NRC) produceerde de laatste vier jaar over onze doelgroep "kindje 2000". Mijn mening dekt de jouwe en die van collega Bram Theune volkomen. Ik voel me steeds meer als de pianoleraar die zijn pupil zonder toonladders en notenschrift op moet leiden voor de masterclass.
Jouw pragmatische suggesties juich ik derhalve toe. Ophouden met het gemopper, dat leidt nergens toe in onze verdommende samenleving. Maar de leerstof en examens sterk aan elkaar koppelen, zodat we er voor de kinderen het hoogst haalbare uitslepen, zonder ons wiskundig geweten al te zeer geweld aan te doen. Ik dring er ook sterk op aan dat we weer de basistechnieken (rekenkunde!, algebra, analyse) van jongs af aanbrengen. De toonladders en de drieklanken van de a.s. pianist. Daar moet je jong mee beginnen.
KINDJE 2000 Enkele alinea's van Henk Pfaltzgraff
Er is een nieuw aanbod van leerlingen op de onderwijsmarkt. Vergeleken met hun voorgangers hebben de leerlingen die in de jaren nul van de eenentwintigste eeuw bij het Hoger Onderwijs aankloppen met een enigszins exacte (technische, informatiekundige, bedrijfskundige, medische, psychologische) intentie, een sterk afwijkende wiskundige opvoeding genoten. Tal van moderne noties van volwassen onderwijskundigen en didactici hebben zij ondergaan. Het idee dat wiskunde vooral leuk zou moeten zijn (dat wil zeggen leuk volgens de volwassenen), het idee dat wiskunde vooral actueel ("realistisch", een eufemisme voor gekunsteld) zou moeten zijn, het idee dat het menselijk (c.q. kinderlijk) geheugen beter zou werken als achtergronden volledig begrepen worden: wie zou de Nieuwe Deskundigheid durven betwisten? Cohorten van onderwijsmanagers, pedagogen, didactici, politici en andere experts (opgeleid met een pretpakket in de jaren zeventig en tachtig toen zelfontplooiing op volkshogescholen belangrijk was) hebben inmiddels tot overmaat van geluk ontdekt dat zelfwerkzaamheid de nieuwe variant van zelfontplooiing moet zijn. De eerste basisgevormden kwamen in 1998 van school, de eerste Tweede Fasers in 2000: jongeren, gewapend met grote digitale vaardigheden en voorzien van alle materiële gemakken, maar zonder veel mathematische voorkennis. Zelfwerkzaamheid en structurele verwaarlozing hebben immers geleid tot een achteruitgang van ongeveer 40% in lestijd pardon: contacturen. Er is echter een lichtpunt: de grafische, programmeerbare calculator. De plaatsvervangende leraar, de huiswerkbegeleider, de elektronische spiekbrief en - voor wie zich in het programmeren verdiept - de steun en toeverlaat bij Praktische Opdrachten. Weg met de algebra! De bediening ervan is gemakkelijker dan die van een mobieltje. En dat alles legitiem, binnen de officiële examenprogramma's. Programmaatjes van elkaar kopiërend in het studiehuis gaan we het derde millennium in. Is de nood werkelijk zo hoog? Oordeelt u zelf. De voorhoede van de studiehuisgeneratie is ons hoger onderwijs binnengedrongen. Actieve, jonge mensen, beschikkend over het nieuwste mobieltje, een rijbewijs en bijbaantjes om dat allemaal te kunnen bekostigen waardoor ze geen tijd voor huiswerk hebben. Studenten die met van alles bezig zullen zijn behalve met hun studie, vooral als die een exacte component heeft. De rechter hersenhelft is immers verschrompeld. Laten we even stil staan bij de anamnese van de handicap die door J.A.Poulos zo fraai ongecijferdheid werd genoemd. Nadat ze op de basisschool vaak al een rekenachterstand hebben opgelopen wordt van onze huidige middelbare scholieren nauwelijks nog verlangd met abstracties om te kunnen gaan. De grote en welkome gedachte is dat feitenkennis en rekenregels onbelangrijk zijn en dat kinderen alles veel beter van een beeldscherm kunnen leren. Gecultiveerde domheid waar Rudy Kousbroek zo smakelijk over kan vertellen. De computerbusiness heet ten onrechte technologie. Tot overmaat van ramp is daar voor de eerste jaren voortgezet onderwijs het vangnet van de basisvorming overheen geworpen. Zittenblijven werd, ingevolge een ministeriële opdracht, afgeschaft. Aanmodderen was het devies. En aanmodderen hebben we gedaan, in de onderbouw van de middelbare scholen. De onderwijskundigen hebben ons geestdriftig aangemoedigd met hun motto van de zelfwerkzaamheid. Laissez faire! Zet de schapen gezellig in groepjes bij elkaar of in een dubbele U vorm, dat maakt het kletsen en afkijken wat makkelijker en de leraar kan gaan koffiedrinken. Geef de kinderen ruime gelegenheid tot herkansen. Ze mogen immers niet doubleren. De ouders zullen niet geprotesteerd hebben. Ondertussen kunnen ze geen gemiddelde uitrekenen, weten niet om te gaan met schaalverhoudingen, procenten, breuken, eenheden en grote getallen en weten niet dat het Amerikaanse billion vertaald moet worden met miljard. Ach, wat maakt het ook uit? Een miljard of een biljoen. Wat is een factor duizend eigenlijk? In een uitzending van Andries Knevel ontstond grote commotie toen Jan Marijnissen een toename van 50% naar 70% met 20% aanduidde terwijl de presentator volhield dat het om een toename van 40% gaat (ze hadden beiden gelijk maar het belangrijke verschil tussen de begrippen absoluut en relatief was hen ontgaan). Delen op is hetzelfde als delen door, zodat de uitkomst van nul gedeeld door drie na intoetsen op de calculator regelmatig error oplevert. Het oplossen van een eerstegraads vergelijking is een onoverkomelijk probleem. Voor veel leerplichtige jongeren spreekt de wiskundeleraar een soort Japans, zij begrijpen niet eens wat er gevraagd wordt. En toen kwam de tweede fase. Ogenschijnlijk een links initiatief, maar in de praktijk (door de affectieve verwaarlozing die bij het studiehuis en de moderne samenleving hoort) alleen te overleven door the happy very few en daarom rechts. Jawel, er overleven wel leerlingen maar die krijgen een diploma voor prestaties die ze niet geleverd hebben. Halvering van het aantal lesuren (pardon: contacturen) en overwaardering voor een vlotte presentatie, de groepsopdracht, het werkstuk en internet. Grafische rekenmachine, formuleblad en open boek op tafel tijdens de tentamens. Met het eindcijfer 4 voor een hoofdvak kun je nog slagen en dat zal wel lukken. Immers een vijf voor het schoolexamen is gemakkelijk te scoren, met al die herkansingen, presentaties en praktische opdrachten. Een 2 voor het landelijk examen is in dat geval al genoeg, want het gemiddelde van 5 en 2 is 3,5 afgerond een 4. Waarom zou een leerling zich vermoeien met abstracties. Waarom zou je exact kiezen. 'Je bent wel gek als je lange dagen in laboratoria gaat zwoegen om de atoombouw te doorgronden', aldus Ronald Plasterk die constateert dat Nederland op weg is een land van half-opgeleiden en praatjesmakers te worden. De eersteklas HBSer uit 1965 wist meer dan de huidige vijfdeklasser havo. Met de doelgroep beoog ik Hollands generatie scholieren en studenten (bedrijfskunde,econometrie, lerarenopleidingen) opgegroeid met de basisvorming, de tweede fase en de verplichte grafische rekenmachine. Nauwelijks gehinderd door de finesses van elementaire rekenkunde en algebra. Groot geworden in een gehaaste samenleving waarin het aantal lesuren wiskunde (en dat vak niet alleen) en de huiswerktijd sterk zijn teruggelopen. Onderworpen aan de actuele onderwijskundige mode om haast alles te visualiseren en te concretiseren, waarbij automatiseren en memoriseren tot achterhaalde begrippen zijn gedegradeerd. Zo moet een pianist zich voelen die opgeleid is zonder toonladders en notenschrift, denk ik wel eens.
Groeten van Henk Pfaltzgraff www.henkshoekje.com


Jos,
Leuk, dat je nog een artikel vooraf hebt geplaatst met daarin een aanmoediging om aan de enquête mee te doen. Overigens ben ik het naast de oproep ook eens met de inhoud. Het is tijd, dat het onderwijs eens gaat werken zoals in het bedrijfsleven. Als daar een product gemaakt moet worden dan bepaalt men eerst de kwaliteitseisen en aan de hand daarvan wordt een begroting gemaakt gerelateerd aan de vooraf bepaalde kwaliteit. In het onderwijs werken we al sinds jaar en dag op de omgekeerde wijze: eerst en (te kleine) zak geld en dan de boodschap: zorg voor hoge kwaliteit, waarbij het doel bij voorbaat onmogelijk bereikt kan worden met te beperkte middelen. Verder onderzoekt het bedrijfsleven de markt en legt zijn oor te luisteren bij de consument. Het moet toch in het onderwijs ook mogelijk zijn om een programma voor het v.o. te maken op grond wensen van vervolgopleidingen weliswaar met behoud van eigen identiteit. Zo'n programma is m.i. op hoog niveau te maken, omdat er voldoende kwaliteit en ervaring (nog wel) in het v.o. aanwezig is.
Groeten, David van Oorschot


De aansluitingsproblematiek van havo/vwo met HBO/Universiteit was natuurlijk te voorzien. De ideeen die aan het Studiehuis ten grondslag liggen zijn overigens uitstekend. Het grote probleem zit echter in o.a de implementatie. Enkele grepen:
1. Het gehele onderwijs is gewijzigd in een aantal jaren tijd. Beginnend bij basisonderwijs, dat moest aansluiten op de basisvorming. Vervolgens de basisvorming die moest aansluiten op basisschool aan de onderkant en Tweede Fase aan de bovenkant.De 'Tweede Fase' moest aansluiten op basisvorming aan de onderkant en HBO/Universiteit aan de bovenkant. De volgende logische stap zou volgens mij zijn dat HBO en Universiteit worden aangepast aan de Tweede Fase. Echter van deze laatste stap heb ik nooit veel gehoord. En ik vraag me dan ook af of die stap wel gemaakt is.
2. Leerlingen leren op de basisschool zelfstandig te werken. Komen ze vervolgens op het voortgezet onderwijs, dan worden ze weer bij het handje genomen. Dat wiskunde in de eerste twee klassen nauwelijks problemen opleveren hoeft geen verbazing te wekken, omdat de leerlingen dit voor een groot gedeelte (op een abstractie niveau na) reeds gehad hebben op de basisschool. (Echter er is tenminste 1 grote methode die daar niet op aangepast is/ de andere methoden ken ik niet, maar mogelijk geldt hetzelfde).Als leerlingen vervolgens in de Tweede Fase terechtkomen, moeten ze plotseling weer zelfstandig werken.
Bij wiskunde wordt veelal gewerkt volgens de methode: maak som n, en daarna som n+1. Ik zie in de Tweede Fase dat vrijwel alle leerlingen op die manier werken, ondanks adviezen over hoe het anders en efficienter c.q. beter kan.
De methode, waar ik mee werk, werkt in de hand dat leerlingen de theorie veelal overslaan en alleen de sommen maken. Je kunt natuurlijk ook al die theorie gaan staan doceren, maar dan toon je alleen aan dat jijzelf geschikt ben voor HBO en Universiteit en niet de leerlingen die consumeren en reproduceren.
Prettiger zou het zijn als de opgaven in het boek stuk voor stuk op aparte blaadjes werden geschreven, zonder opgave nummer, en met de uitwerkingen achterop. Laat de leerling de theorie dan maar eerst bestuderen om vervolgens de bundel met opgaven te structureren en een (eigen) selectie daarvan te oefenen.
3. Als docent geef je jarenlang op eenzelfde manier lessen. Dan plotseling wordt de verantwoordelijkheid bij de leerling gelegd en moet deze zelfverantwoordelijk gaan leren. Dat is natuurlijk fantastisch mooi, maar je kunt niet opeens al jouw opgedane leswijsheid over boord zetten, omdat het opeens anders moet. Een dergelijk proces kost veel tijd en behoeft positieve ervaring voor de docent, om uiteindelijk die onderwijskundige stap te kunnen maken. Dat wil zeggen de overtuiging te hebben dat het nu werkt en dat de leerling volledig losgelaten kan worden.
4. We mogen niet onderschatten dat de leerlingen rond de periode dat zij vol in de pubertijd zitten een grote verandering in hun werkwijze en studiegedrag moeten weten te volbrengen. "Jongens, welkom in de vierde. We gaan het nu anders doen dan in de onderbouw." Een dergelijk veranderingsproces kost tijd voor de leerlingen en de leeftijd van ca 16 jaar is niet de ideale om zo'n verandering te bewerkstelligen.
Samenvattend geloof ik dat de slechte aansluiting vooral voortkomt uit:
a. Slechte aansluiting vanuit HBO/Universiteit,
b. Zelfstandigheid bij het werken/studeren is niet te implementeren door op een knop te drukken,
c. de docent moet in een te korte tijd omschakelen, zonder eerst te kunnen geloven in het resultaat en
d. het moment in het leven vd leerling is niet het meest gunstige moment.
Op het VO ervaren wij als docenten deze problemen als overladenheid van het programma en te hoge werkdruk (wij moeten o.a planners maken voor leerlingen, want we weten gewoon dat de leerlingen het niet zullen doen). De leerling die afwacht (en dat zijn er nogal wat) ziet een berg werk op zich afkomen en spreekt van overladenheid. Snijden in het curriculum is dan een lapmiddel dat slechts werkt tot de poort van het HBO/de Universiteit.
Maar eenmaal binnen ervaren ze (HBO/Univ) daar ook het een en ander.
Voor de minister wordt op deze wijze een lastig probleem opgelost. Door flink te snijden in het curriculum, komen er minder uren wiskunde en daarvoor zijn minder docenten wiskunde nodig. Dat is geen probleem, want er komen er steeds minder bij en dat kan een groot probleem gaan worden, tenzij je het vak kleiner maakt en er minder docenten nodig zijn.
Met vriendelijke groeten, Joost van 't Spijker, Docent wiskunde Esdal College.


Onderwijs in de wiskunde vanaf 2007 of Enkele ideeën van een zij-instromer wiskunde

Bijna 2 jaar ben ik nu werkzaam in het onderwijs, na ongeveer 15 jaar bij advies- en ingenieursbureaus te hebben gewerkt. Mijn observaties van het wiskundeonderwijs zijn waarschijnlijk nog vrij oppervlakkig, maar wel vers. En in mijn advieswerk merkte ik vaak dat mijn eerste indrukken de meest(e) kritieke punten boven water brachten. Vandaar mijn bijdrage als onderdeel van de discussie.
Wiskunde voor de arbeidspraktijk over ongeveer 5 jaar
Al nadenkend over onderwijs in de wiskunde blijkt toch steeds weer dat ik terugkom bij de vraag: Waar gaan de leerlingen het voor gebruiken?
Uiteindelijk is het antwoord op die vraag: voor hun arbeidspraktijk. En in tijd gezien iets nauwkeuriger: over ongeveer 5 jaar.
Het doel van het wiskundeonderwijs moet (mijns inziens) daarop gericht zijn. Ook het tussenliggende onderwijs zal die gerichtheid (moeten) hebben.

Welke rol speelt de wiskunde in de arbeidspraktijk?

De discussie fundamenteel – toegepast speelt vaak een rol in de gesprekken over wiskunde. Om deze wat meer expliciet te maken heb ik in onderstaande tabel dit onderscheid gekoppeld aan de profielen HAVO/VWO in het voortgezet onderwijs.
Met ‘fundamenteel onderzoek’ bedoel ik het onderzoek van de wiskunde zelf en het onderzoek waarvoor nieuwe wiskunde wordt ontwikkeld.
Met ‘toegepast in variërende context’ bedoel ik dat niet van tevoren vaststaat voor de ontwerper/onderzoeker welke theorie moet worden toegepast.
Met ‘toegepast in vaste context’ bedoel ik dat de wiskunde voornamelijk wordt toegepast binnen bekende contexten.
Met ‘procedureel’ bedoel ik dat het hier gemechaniseerde wiskunde betreft, waarmee gebruikmakend van een voorgeschreven en vastgelegde procedure een beperkt aantal contexten wordt behandeld.
Opmerking:
De rol van de wiskunde zou ook uitgedrukt kunnen worden in de 4 mogelijkheden die ontstaan wanneer wordt uitgegaan van het onderscheid concept/context. De linker kolom zou dan zijn: concept concept (en context) context (en concept) context.

Tabel: Wat is de rol van de wiskunde in de (toekomstige) arbeidspraktijk, onderscheiden naar fundamenteel/toegepast en onderwijsprofiel in het voortgezet onderwijs
Rol van de wiskunde VWO HAVO
  NT NG EM CM NT NG EM CM
Fundamenteel onderzoek x              
Toegepast in 'variërende' context x x x   x x    
Toegepast in 'vaste' context x x x x x x x  
Procedureel toegepast x x x x x x x  

De kruisjes geven aan waartoe opgeleid wordt. Uiteraard is er enige discussie mogelijk over die rol, maar de onnauwkeurigheid van deze tabel valt in het niet bij de onzekerheid van de ontwikkelingen over de komende 5 jaar. Ik sta open voor verbeteringen.
Uitgaande van bovenstaande tabel kan meer gericht antwoord worden gegeven op enkele vragen die spelen rond de toekomstige aanpassing van het onderwijs.

De algebraïsche vaardigheden

De klacht over het gebrek aan algebraïsche vaardigheden is bekend. In onderstaande tabel is aangegeven voor welke profielen algebraïsche vaardigheden een belangrijke rol spelen in de toekomstige arbeidspraktijk.

Tabel: De profielen waar algebraïsche vaardigheden (a) een belangrijke rol spelen.
Rol van de wiskunde VWO HAVO
  NT NG EM CM NT NG EM CM
Fundamenteel onderzoek a              
Toegepast in 'variërende' context a a a   a a    
Toegepast in 'vaste' context                
Procedureel toegepast                

Uiteraard geldt ook hier dat er een onnauwkeurigheid schuilt in de indeling. Maar deze kan grotendeels worden gecompenseerd door de eisen m.b.t. de algebraïsche vaardigheden te laten variëren voor de verschillende combinaties van rol van wiskunde en profiel.

De toepassing van ICT

De toepassing van ICT verwerken in bovenstaande matrix geeft een ander overzicht. Een complicatie hierbij is dat ‘ICT’ hierbij een veel te algemene omschrijving is. Hier zal ik een onderscheid maken tussen:

Ook hier valt natuurlijk af te dingen op de exacte omschrijvingen en op de grenzen van toepassing. Maar een indicatie van de toepassing van ICT geeft het wel.

ICT in het voortgezet onderwijs:
p = procedureel wiskundige ICT
t = toegepast wiskundige ICT
f = fundamenteel wiskundige ICT
Rol van de wiskunde VWO HAVO
  NT NG EM CM NT NG EM CM
Fundamenteel onderzoek f              
Toegepast in 'variërende' context t t t   t t    
Toegepast in 'vaste' context t t t t t t t  
Procedureel toegepast p p p p p p p  

Laat de discussie niet gaan over voor of tegen algebraïsche functionaliteit, maar welke functionaliteit en voor welke combinatie van rol van de wiskunde en profiel. Daarna wordt de keuze voor de ICT(technologie!) veel makkelijker.

Evaluerend

Laten we nu de tabellen eens samenvatten:
Tabel: ICT in het voortgezet onderwijs:
a = algebraïsche vaardigheden enICT in het voortgezetonderwijs
p = procedureel wiskundige ICT
t = toegepast wiskundige ICT
f = fundamenteel wiskundige ICT
Rol van de wiskunde VWO HAVO
  NT NG EM CM NT NG EM CM
Fundamenteel onderzoek af*              
Toegepast in 'variërende' context at at at   at at    
Toegepast in 'vaste' context t t t t** t t t**  
Procedureel toegepast p p p p** p p p**  
* De fundamenteel wiskundige ICT komt in sterke mate in VWO NT aan de orde. Dat nodigt uit tot een snelle invoer en evaluatie: het is een beperkte groep. Ook gaat het in de toekomst in vereenvoudigde vorm steeds verder doordringen in onze profielen, net als de 'wetenschappelijke' rekenmachine.
** Dit overzicht maakt duidelijk dat er veel voor pleit om in HAVO EM en VWO CM te starten met de algebraïsche rekenmachine: een apparaat geschikt voor de meer procedurele wiskunde en in gegeven contexten. En dan niet in één grote overgang, maar geleidelijk (zie ook het einde van deze reactie). De ervaringen hiermee kunnen we gebruiken om de inzet van de algebraïsche machine in de andere NT, NG en EM delen voor te bereiden: veel moeilijker, want het gaat daar niet alleen om de procedures maar ook om het opbouwen van inzicht.

De eindtermen

Soms voelen we als een keurslijf. Het CE moet worden gehaald, de eindtermen moeten dus worden bereikt. In het licht van de bovenstaande richtingen pleit ik voor ruimte in die eindtermen. Ofwel:

  • 60% is gebaseerd op duidelijk herkenbare opdrachten die voortkomen uit leerstofonderdelen die aansluiten op de basisleerstof van de vervolgopleidingen.
  • 40% stijgt daar bovenuit zij het dat er een directe relatie moet zijn met de leerstof zoals die is onderwezen.
  • (J.Andriessen)
    Dan hebben we ruimte om te verdiepen en om te veranderen. En laat in de kwaliteitsmetingen dan maar eens opgenomen worden wat er in die 40 % wordt gedaan. Dat geeft meer inzicht in de kwaliteit van het onderwijs dan het meten van cijfers voor examens. Want die examencijfers worden grotendeels door de inzet van de leerlingen bepaald. Maar inhoud van die 40 % is in veel sterkere mate een indicator voor de kwaliteit van de school.

    De praktijk van het invoeren van veranderingen

    Eens in de ca. 10 jaar zetten we het onderwijs in de wiskunde op z’n schop. En dan proberen we het ook goed te doen. Maar de overgang is iedere keer weer een groot probleem. Waarom moet alles tegelijk op de schop? Omdat we het in de tussentijd niet eens kunnen worden over veranderingen? Omdat de boeken niet iedere keer opnieuw geschreven kunnen worden? Omdat er in de tussentijd niets verandert?
    In 2007 gebeurt het weer: weer een enorme hoeveelheid veranderingen.
    Kunnen we het niet eens anders doen? Jawel: ieder jaar 10 % van de stof aanpassen. Neem de eindtermen, deel ze in in ongeveer 10 delen van samenhangende stof en doe dit zo dat elk jaar één van de 10 delen kan worden gemoderniseerd (de indeling per boek voldoet dus niet!).
    Gebruik Internet, stel de materialen beschikbaar en… geen abrupte overgangsverschijnselen, maar jaarlijks een verbetering.
    Iedere 10 jaar kan de wiskunde zonder overgangsverschijnselen geheel worden aangepast aan de laatste ontwikkelingen m.b.t. de toekomstige arbeidspraktijk.
    Nogmaals, uw aanvullingen en opmerkingen zie ik graag tegemoet.
    ir. Gert Treurniet, e-mail: wiskundebrief@contrefort.nl Dit document staat ook op http://www.treurniet.com/


    WISKUNDEWANDELING

    WISKUNDEWANDELING In oktober gaan onze 4e klassers VMBO-theoretisch altijd op werkweek naar Engeland.
    Dit jaar is de sectie wiskunde gevraagd om een PTA-opdracht te ontwerpen, die uitgevoerd moet worden in Londen. Ik kan naar een museum gaan, maar ik denk erover om een wiskundewandeling te maken. Dit wordt een wandeling door Londen, waarbij ik allerlei wiskundige vraagstukken, geinspireerd op de omgeving, maak. Ik heb ooit, in 1996, de wisc-wandeling in Amsterdam gelopen. Als de wandeling geslaagd blijkt te zijn, kan ik 'm verder uitwerken en misschien andere scholen er een plezier mee doen. Op 13 mei as. vertrek ik naar Londen om het voor te bereiden. Wie heeft er tips voor vraagstukken? Stuur je ideeen naar krans@rientjesmavo.nl .
    Ik hoop op veel leuke reacties! Groeten, Ethel Krans, Mgr. A. E. Rientjesmavo


    WiskundE-brief
    redactie Jos Andriessen en Gerard Koolstra
    e-mail: j.andriessen@hccnet.nl of g.koolstra@chello.nl