WiskundE-brief nr. 312 16-05-2004

De WiskundE-brief is in de eerste plaats gericht op wiskundedocenten in het Voortgezet onderwijs.
Bedoeling is elkaar snel op de hoogte te houden van, en meningen uit te wisselen over voor hen relevante zaken, met enige nadruk op ICT en nieuwe ontwikkelingen
De redactie wordt gevormd door Jos Andriessen en Gerard Koolstra.
Bijdragen zijn welkom via j.andriessen@hccnet.nl of we-b@xs4all.nl
De redactie behoudt zich het recht voor bijdragen in te korten of niet te publiceren. Deze brief wordt gestuurd naar meer dan 1600 adressen.
Het archief is te bekijken via http://www.digischool.nl/wi/WiskundE-brief

in dit nummer:

WISKUNDE HAVO EN VWO, WAT IS WIJSHEID...UITSLAG ENQUETE

WISKUNDE HAVO EN VWO, WAT IS WIJSHEID...REACTIES (VERVOLG)


Uitslag van de enquête uit WiskundE-brief 310.

Lesgegeven aan HAVO47
Lesgegeven aan VWO54
Lesgegeven aan HBO3
Lesgegeven aan WO9
anders 2

Veel docenten verklaarden lesgegeven te hebben aan 1 t/m 8 (over werkdruk gesproken!)

II. Ik heb de volgende mening over de aansluiting havo -hbo voor wat betreft het wiskundeprogramma in de tweede fase…………….. (slechts één getal invullen)

1 slecht820%
2 onvoldoende1743%
3 voldoende1128%
4 goed410%
5 zeer goed00%
--------------------------------------
6 mij niet bekend17
7 mening andere vorm5

III. Ik heb de volgende mening over de aansluiting vwo -wo voor wat betreft het wiskundeprogramma in de tweede fase…………….. (slechts één getal invullen)

1 slecht1121%
2 onvoldoende2956%
3 voldoende917%
4 goed24%
5 zeer goed12%
--------------------------------------
6 mij niet bekend5
7 mening andere vorm5

Allereerst wil ik hierbij de mensen die gereageerd hebben bedanken: 62 mensen hebben gereageerd op mijn oproep. Verder ben ik getroffen door de eerlijkheid en de betrokkenheid van de collega’s, gezien ook het grote aantal aangevers van een (gedeeltelijk) “mij niet bekend”. Categorie 7 is in het leven geroepen om de personen aan te geven die in woorden gereageerd hebben. Hun reacties weken overigens niet af van het algemene beeld van de enquête. Een aanzienlijk aantal personen uit het VO klaagt over werkdruk en onvrede met het niet “luisteren” naar de mensen uit het veld. Herhaaldelijk komt ook naar voren dat men het onbegrijpelijk vindt, dat docenten in het HO niet op de hoogte zijn van de veranderingen in het VO.
De uitslag van de enquête geeft overigens een duidelijk beeld: 63% vind aansluiting op HBO onvoldoende (of erger) en 77% vindt aansluiting op WO onvoldoende (of erger).

Enkele zinsneden uit de ontvangen reacties:

In een volgende wiskundE-brief wil ik uitvoerig terugkomen op de uitslag van de enquête in de vorm van commentaar.

Met vriendelijke groet, Bram Theune actheune@zeelandnet.nl

WISKUNDE HAVO EN VWO, WAT IS WIJSHEID...REACTIES (VERVOLG)

WISKUNDE IN HAVO EN VWO: WAT IS WISHEID? Ofwel wat willen we met het wiskundeonderwijs?

De doelstellingen in het wiskundeonderwijs zijn de laatste decennia sterk verschoven. Tot 1968 stonden het aanleren van algebraïsche vaardigheden en het leveren van meetkundige bewijzen centraal. In 1968 is het programma vooral inhoudelijk vernieuwd. De Euclidische meetkunde moest plaats maken voor de transformatiemeetkunde, de stereometrie werd ingeruild voor de meer algebraïsche vectormeetkunde en de lineaire algebra en de statistiek deden als onderdeel van de wiskunde zijn intrede. In de onderbouw werd bovendien het intensief gereken met algebraïsche vormen en het wortelrekenen vervangen door het opereren met logische symbolen en het werken met de taal van verzamelingen en relaties. Hoewel de inhoud van het programma wezenlijk wijzigde bleef toch de hoofddoelstelling van het onderwijs in de wiskunde het aanleren van algoritmen uit algebra, meetkunde en analyse.

Na een aantal herschikkingsoperaties (wiskunde I en II werden wiskunde A en B voor het VWO in 1984 en voor de HAVO in 1993), wordt in 1993 de basisvorming ingevoerd met een geheel vernieuwd wiskundeprogramma met verschuivende hoofddoelstelling. De verzamelingenleer, de vectormeetkunde en de lineaire algebra verdwijnen weer vrijwel geheel uit het programma. Maar tegelijk wordt een nieuwe weg ingeslagen: de wiskunde wordt meer contextgebonden, het wordt meer realistische wiskunde. Die tendens zet zich voort bij de invoering van de Tweede Fase: met name wiskunde A wordt contextrijke wiskunde, in mindere mate geldt dat ook voor wiskunde B. Daarnaast doet de grafische rekendoos doet zijn intrede.
De doelstellingen van het wiskundeonderwijs worden niet alleen wat betreft thema’s gewijzigd, maar ook in fundamentele zin. De wens van Freudenthal gaat in vervulling: in het wiskundeonderwijs moet het gaan om mathematiseren, om de wiskundige activiteiten die door rijke contextproblemen worden gestimuleerd. Een verschuiving dus in doelstelling; van het hanteren van wiskundige technieken en vaardigheden als gereedschap bij andere vakken (en latere studie!) gaat het accent meer liggen op het oplossen van praktische problemen met behulp van wiskundige denkmethoden (en de grafische rekendoos).(Bron voor deze gegevens: Heuristisch Wiskunde Onderwijs, Anne van Streun, 1989)
(In mijn nu volgende bijdrage aan de discussie richt ik mij vooral op het programma voor wiskunde B op het VWO.)

Constatering 1: Voor het wiskundeonderwijs gelden anno 2004 de volgende doelstellingen:

  1. Praktische problemen kunnen oplossen met behulp van wiskundige denkmethoden en algoritmen
  2. dat impliceert: Kunnen vertalen van gegevens uit een context naar een wiskundig model
  3. Wiskundige technieken en vaardigheden kunnen toepassen bij andere vakken
  4. Voorbereiden voor gebruik van wiskunde bij vervolgopleiding (havo-hbo vwo- wo)
    Waarbij voor Wiskunde A heeft als hoofddoelstellingen 1 en 2,
    Wiskunde B op de havo heeft als hoofddoelstelling 3,
    Wiskunde B1 op het vwo heeft als hoofddoelstellingen 3 en 4,
    Wiskunde B12 op het vwo heeft als hoofddoelstelling 4.

Stelling 1: Voor het wiskundeonderwijs in de herziene tweede fase dienen deze doelstellingen overeind te blijven. Zeker geldt voor doelstelling 4 waar het gaat om wiskunde B (i.p.v. wB1 en wB12).
De toestroom van leerlingen naar exacte studies zullen zeker niet groter worden als het programma voor wiskunde zou worden ontdaan van de 4e doelstelling. Eerder zal het tegendeel het gevolg zijn. Immers, juist het samen zoeken en vinden van een fraai sluitend wiskundig bewijs wekt de belangstelling bij leerlingen met aanleg voor wiskunde. En het goed onder de knie krijgen van de genoemde algebraïsche vaardigheden maakt het mogelijk om toe te komen aan het op een hoger niveau oplossen van problemen, zoals bij families van parameterkrommen bestuderen voor welke elementen van de familie er twee punten met een horizontale raaklijn zijn, of een Riemannsom hanteren bij een niet triviale inhoudsberekening, arbeidssom of druktotaal. Dat zijn de problemen die wiskunde tot een leuk vak maken voor de leerlingen met aanleg en aldus wordt wiskunde (of een sterk wiskundig gekleurde studie) de moeite van het kiezen waard, als de leerlingen voor de keus komen te staan welke vervolgstudie het moet worden.
Dit impliceert voorts, dat de rekenvaardigheden en de algebraïsche vaardigheden tenminste op gelijk niveau moeten worden aangeleerd en geoefend (zie bijlage) in de eerste drie leerjaren van havo en vwo. Vandaar de volgende stelling.

Stelling 2: Een aantal algebraïsche vaardigheden zou moeten worden toegevoegd voor de leerlingen die met wiskunde B verdergaan (zie lijst onder ‘de leerling kan nog niet’).
Persoonlijk zou ik het onderbouwprogramma niet willen belasten met deze vaardigheden. De leerlingen zullen die extra algebraïsche vaardigheden vooral als vervelende ballast ervaren, en terecht: de leerlingen die niet verder gaan met wiskunde B hebben dat ook totaal niet nodig. Om bedoelde vaardigheden op een efficiënte manier aan te brengen, verdient het de voorkeur om die in te bouwen in het programma van klas 4 voor wiskunde B, als de leerlingen al gekozen hebben voor Natuurstroom of Maatschappijstroom. Alleen voor de natuurstroom zijn die vaardigheden (als voorbereiding op wiskunde B in klas 5 en 6) essentieel. Belangrijk argument is ook, dat de leerlingen in klas 4 nog zeer ontvankelijk zijn voor het aanleren van vaardigheden. In het programma van 4VWO is goed ruimte te maken voor wat extra vaardigheden, die op een logische wijze kunnen worden ingebouwd en wel zo dat ze met vaardigheden uit de onderbouw op een harmonische wijze worden herhaald. Voor zelfstandig (leren) studeren zal dan niet veel tijd overschieten, maar wat dat betreft kunnen de leerlingen zich uitleven bij de niet-exacte vakken. Indien gewenst is daarvoor meer tijd in te ruimten in klas 5 en 6. Met gewoon lekker wiskunde leren in klas 4 en af en toe tijd voor zelfstandig studeren in klas 5 en 6 hebben we op school goede ervaringen.

Stelling 3: De studielasturen zouden voor het vak wiskunde B voor tenminste 90% vertaald moeten worden naar contacturen. Het vak wiskunde B in de Tweede Fase leent zich er in feite niet voor om door leerlingen zelfstandig bestudeerd te worden.
Je hebt de lesuren die nu beschikbaar zijn (wij geven 3 uur in klas 4, 4 uur in klas 5 en 3/5 uur in klas 6 voor wb1/wb12) hard nodig om de huidige leerdoelen enigszins te halen, ook als je veelvuldig gebruik maakt van klassikale werkvormen.
Daar komt nog bij dat in de huidige cultuur van werkstukken, praktische opdrachten en handelingsdelen die de leerlingen allemaal moeten produceren, er voor het maken van het gewone huiswerk geen tijd meer overblijft (zie de bijlage met de toelichtende berekening over ‘Werkstukdruk’). Of is dat alleen op onze school zo erg?
Als je ziet wat voor soort kennis we de leerlingen moeten bijbrengen, dan valt die in het algemeen in de hoogste categorieën van de taxonomie van Bloom. Dat is alleen haalbaar als de leerlingen over de nodige vaardigheden uit de algebra en het rekenen beschikken. Leerlingen zelf de stof laten bestuderen betekent dat 50% - 75% van de wiskunde B kiezers ongeveer bij elke som er niet uit komt of de theorie (ook al wordt die in een goed theorieboek aangeboden) niet begrijpt. Dat levert geen bevredigende resultaten

Stelling 4:Het curriculum hoeft nauwelijks ingekort om toch bij voldoende contacturen de bedoelde doelstellingen te kunnen realiseren.
Voor het VWO bij wiskunde B kun je een aantal onderdelen schrappen zonder aan de bovengestelde doelen af te doen.
Te denken valt aan de onderdelen:

Bij vertaling van de 480 slu - die nu voor het vak wiskunde B genoteerd staan in de nieuwe plannen – naar 12 x 0,9 = 10,8 ? 11 lesuren (3 in klas 4, 4 in klas 5 en 4 in klas 6) is bovenstaand programma goed haalbaar!

Rens Houtman, Kalsbeek College, Woerden. Rens@Houtman.nl

Opmerking van de redactie: De twee bijlagen bij dit artikel kunt u krijgen door een email te sturen naar Rens Houtman.


In reactie op de vraag van Bram Theune WiskundE-brief nr 310, heb ik hem het volgende gemaild:
"Ik ben erg blij met je artikel en deel volledig je mening. Ook ik heb voortdurend het gevoel de verkeerde dingen te moeten uitleggen: hoe je de knoppen van de GR bedient, hoe je moet lezen enz. Als het om echte wiskunde gaat, hoeft er opeens niets meer, zelfs de formule van de oppervlakte en omtrek van een cirkel hoeven ze niet meer te kennen, terwijl dat m.i. een vorm van algemene ontwikkeling is. Een spiekbrief voor de machinetaal, zoals binomcdf(N,P,K), is echter verboden, terwijl dit soort knoppenreeksen nutteloos zijn om te onthouden, omdat deze codes over een paar jaar weer verdwenen zullen zijn, in tegenstelling tot universele kennis zoals bijv: [sinx]'=cosx. Zelf zorg ik dat ik de algebra wel degelijk flink oefen, voor zover de tijd dat toelaat. Het geeft de leerlingen houvast en niet te vergeten: het gevoel dat ze iets geleerd hebben en iets kunnen! Voorbeeld: als 4 havo de klas binnenkomt, krijgen ze allemaal tijdens het tas uitpakken alvast vragen als: hoeveel is ²log 32, waarom? Net zolang tot ze het kunnen dromen. De "succesbeleving" wordt verhoogd. Ik geef ook al jaren les in de brugklas (havo/vwo) en ben nog steeds niet over de schok heen van de enorme niveauverlaging sinds de invoering van de basisvorming. Soms heb ik meer het gevoel met bezigheidstherapie bezig te zijn, dan met wiskunde. Er worden in de boeken (en we hebben in die 11 jaar zowel met Getal&Ruimte, als Netwerk, als Moderne Wiskunde gewerkt, telkens denkend dat het gras eldersgroener was) nauwelijks structuren aangebracht. Wel zijn alle 3 de methodes nu in hun nieuwe uitgaven weer wat aan het herinvoeren van algebra, omdat duidelijk begint te worden hoe zonde en onpraktisch het is om bv de leerlingen onderwerpen in de vierde te leren die vroeger in de 1e werden gegeven (zoals de regels voor het werken met machten). Het jammere is ook dat de leerling veel meer zou kunnen en willen. Dit merk ik ook sterk in de bovenbouw, waar de leerling 8 keer per dag te horen krijgt: "pak je studiewijzer en ga aan het werk". Zodra ik klassikaal ga vertellen hoe wiskunde in elkaar zit, hoe het in de geschiedenis ontstaan is, welke weetjes, grappen, schoonheid en valkuilen er bij horen, leeft iedereen op en gebeurt er iets: noem het inspiratie of Bildung. Het "zelf ontdekken" is in ons vak slechts voor weinigen weggelegd. Het principe van de drieslag: "voordoen, nadoen, begrijpen" vind ik nog steeds erg effectief en voor de leerling veel leuker, zeker voor de havisten. Ik heb dus twee jaar geleden, na een jaar modderen in de nieuwe tweede fase, maar besloten vaak voor deze laatste werkvorm te (blijven) kiezen."
En verder zou ik eraan willen toevoegen: ik vond de afgelopen 20 jaar niets mis met het aanleren van mechanistisch handelen. Leerlingen kunnen heel veel plezier beleven aan het echt "leren" van bijvoorbeeld de abc-formule, (zodat ze hem dus om te beginnen zonder formulekaart kunnen opschrijven), zonder dat ze de finesses of de afleiding geheel doorgronden. Inzicht komt vaak naderhand. En ook het "functie-onderzoek", of het verschuiven en vermenigvuldigen van sinusgrafieken, en vooral het mooi tekenen dat hierbij hoort, heb ik altijd met heel veel plezier onderwezen, omdat enerzijds de zwakke leerlingen er toch goede resultaten mee konden boeken, als ze de stapjes maar volgden, en anderzijds de sterke leerlingen de schoonheid en subtiliteiten van de achterliggende ideen konden begrijpen en waarderen. Verder pleit ik er voor om de "taal" van de wiskunde weer een duidelijke plaats te geven: niet alleen de algebra (hoe kun je met de lenzenformule werken als je niets van breuken snapt, op je 16e?), maar ook de symbolen voor verzamelingen, en/of-tekens, implicatiepijlen e.d. opdat onze leerlingen niet als analfabeten op de universiteiten en hogescholen aankomen. En tenslotte; de "contekstrijke wiskunde" mag wat mij betreft de prullebak in, of in elk geval gedecimeerd worden. Het is in mijn ervaring al jaren een verschrikkelijk misverstand dat leerlingen door de verhaaltjessommen de wiskunde "leuk" of "uitdagend" of "nuttig" zouden vinden. Integendeel, vaak smeken ze om gewone, eerlijke sommen. Pas als een wiskundige techniek redelijk goed begrepen is, heeft het m.i. zin om een contekst op te voeren. Weg met die ellenlange, zinloze en gekunstelde teksten, die er alleen maar toe bijgedragen hebben dat nu helemaal niemand meer van wiskunde houdt, de zwakke leerlingen niet, maar ook de sterke niet meer. Er valt natuurlijk nog veel meer te zeggen, maar tot zover mijn bijdrage,

Hartelijke groet, Anton Kalff Wiskundeleraar VCL (Vrijzinnig-Christelijk Lyceum) Den Haag

Beste collega,
Graag wil ik de antwoorden op de enquete even toelichten. Mijn hoofdtaak is wiskundedocent bovenbouw vwo. In deze hoedanigheid ben ik voor een dag in de week gedetacheerd aan de technische universiteit Twente. Mijn taken zijn o.a. de opleidingsdirecteur te adviseren over de aansluiting van de veranderde wiskunde in de tweede fase op de wiskundevakken aan de UT. Daartoe geef ik in het eerste trimester werkcolleges wiskunde, zodat ik precies weet wat er van de student verlangd wordt. Verder geef ik de deficientiecursus voor studenten die wiskundeB12 in hun pakket hadden moeten hebben, maar toegelaten zijn met wisk B1.
Mijn bevindingen zijn dat men aan de UT echt wel zijn best doet om aan te sluiten bij de wiskunde van de tweede fase. Mijn aanstelling is daar een bewijs van. Maar gedurende de vier jaren dat ik dit werk doe, is er nog steeds geen oplossing gevonden voor het gebrek aan algebraische vaardigheden van de studenten. Er is nieuw studiemateriaal aangeschaft, de studenten krijgen een cursus computeralgebra, de stijl van vragenstellen op tentamens wordt aangepast, er mogen formulekaarten worden gebruikt etc. Maar dat neemt niet weg dat we telkens weer aanlopen tegen domweg gebrek aan vaardigheden in het letterrekenen, het manipuleren met formules, algebra dus. Geen ingewikkelde exercities, maar gewoon de basisvaardigheden.Als we dit nog op orde kunnen krijgen is het huidige iskundeprogramma zo gek nog niet. Dan kunnen de universitieten er best goed mee uit de voeten.
Maar ik ben op dit punt somber gestemd. Jammer genoeg zijn er collega's en vakontwikkelaars die vinden dat het gezeur over algebraische vaardigheden afgelopen moet zijn. Wat doe je de studenten een onrecht aan door ze dit niet meer bij te brengen op een leeftijd dat ze er nog ontvanklijk voor zijn! Het is gewoon de grammatica van de universele wiskundetaal.
Het ergste is nog dat de studenten er niets aan kunnen doen dat hen dit niet meer onderwezen wordt. Ze zijn nog even slim als vroeger. De schuld ligt ook niet bij de inhoud van het wiskundeprogramma, dat zou nog wel mogelijkheden bieden om algebraische vaardigheden aan te leren. Maar ze hebben domweg de tijd niet meer om voldoende huiswerk voor wiskunde te maken. Bij alle vakken moeten werkstukken en praktische opdrachten gemaakt worden, er is altijd wel een of andere deadline waar ze tegen aan zitten. En vaardig wordt je door te oefenen, de vergelijking met pianospelen is al gemaakt. Misschien moet de oplossing gezocht worden in een aanpassing van het programma in de onderbouw.
Voor het antwoord op de aansluiting havo-hbo heb ik mijn echtgenoot geraadpleegd, die op het HBO werkzaam is, onder andere op het gebied van de aansluiting. Ook daar zit het vast op de algebraische vaardigheden.
Ik ondersteun van harte uw initiatief.

Met vriendelijke groet Lia van Asselt-Takx
WiskundE-brief
redactie Jos Andriessen en Gerard Koolstra
e-mail: j.andriessen@hccnet.nl of g.koolstra@chello.nl