WiskundE-brief nr. 393 08-10-2006

De WiskundE-brief is in de eerste plaats gericht op wiskundedocenten in het Voortgezet onderwijs.
Bedoeling is elkaar snel op de hoogte te houden van, en meningen uit te wisselen over voor hen relevante zaken, met enige nadruk op ICT en nieuwe ontwikkelingen
De redactie wordt gevormd door Jos Andriessen en Gerard Koolstra.
Bijdragen zijn welkom via j_andriessen[at}wanadoo.nl of we-b[at}xs4all.nl
De redactie behoudt zich het recht voor bijdragen in te korten of niet te publiceren. Deze brief wordt gestuurd naar meer dan 2000 adressen.
Het archief is te bekijken via http://www.digischool.nl/wi/WiskundE-brief

in dit nummer:

UVA-WEBKLAS WISKUNDE VOOR 5/6 VWO MET PROFIEL N&G OF N&T

BEDROG?! (WiskundE-brief 384/385/386/387/388)

REACTIE OP NOTA "RIJK AAN BETEKENIS" (CTWO)

IN ZEE MET WISKUNDE D

NIEUWE BOVENGRENS VOOR KUSSEN IN HOGERE DIMENSIES

VAKDIDACTICUS WISKUNDE ( ADVERTENTIE)


UVA-WEBKLAS WISKUNDE VOOR 5/6 VWO MET PROFIEL N&G OF N&T

Van 30 oktober tot en met 27 november 2006 organiseert de Universiteit van Amsterdam webklassen voor scholieren. Een webklas is een interactief lesprogramma waarbij je via het internet contact hebt met UvA-docenten en de andere deelnemers. De webklas kost ongeveer tien uur, verdeeld over vier weken. Je kunt het onderwerp van de webklas gebruiken als basis voor een profielwerkstuk. De webklas wiskunde heeft als onderwerp de Riemann-hypothese, het beroemdste open probleem uit de moderne wiskunde. In deze webklas leer je waar dat probleem over gaat, en tegelijkertijd leer je van alles over priemgetallen, complexe getallen, oneindige rijen, oneindige reeksen en oneindige producten. Je maakt kennis met de meest fantastische en uitdagende stukken wiskunde die er zijn. Begeleiding: prof.dr. Jan van de Craats en Chris van Dorp (student wiskunde UvA). Inschrijving nu geopend. URL: www.studeren.uva.nl/webklassen

Bron: WPD (www.wiskundepersdienst.nl)

BEDROG?! (WiskundE-brief 384/385/386/387/388)

Omdat in nummer 388 van de WiskundE-brief uitdrukkelijk de vraag aan mij is gesteld hoe het mogelijk is dat ik een oplossing fout kan rekenen, meen ik nog wel even te mogen reageren, temeer daar mij door de collega's Kuhl en Van den Berg werd gevraagd "hoe ik als docent bevoegd kan zijn". Dat kan het geval zijn, sterker dat is het geval, want die bevoegdheid is mij (al enige tijd) geleden toegekend.
Bij het beoordelen van examens gelden ook 'richtlijnen' die niet altijd zo nadrukkelijk op papier komen, maar niettemin een rol spelen:
De leerling onderwerpt zich aan een onderzoek (examen) en weet derhalve dat de bewijsplicht bij hem ligt. De leerling moet tonen dat hij de leerstof beheerst en weet ook dat hij dat moet tonen. Als hij 'goed' is opgevoed (in de wiskunde) weet hij ook dat het daarbij niet in de eerste plaats gaat om het geven van het antwoord, maar om de vraag waarom hij vindt dat dat het antwoord is. De nadruk ligt toch steeds op (de kwaliteit van) de redenering. Dit alles natuurlijk in verhouding tot het soort onderwijs dat met dat examen wordt afgesloten. De 'Euler' in mijn klas die een briljant meetkundebewijs heeft geleverd, maar daarbij ondanks de opdracht daartoe niet gebruik heeft gemaakt van de toegelaten stellingen, zal de eerste zijn om te begrijpen dat zijn bewijs niet geaccepteerd mag worden.
En de leerling (zie de casus in brief nummer 384) die met knutselen, vouwen en plakken, een antwoord heeft gevonden? In het voorafgaande onderwijs is hij onderwezen in het interpreteren van tweedimensionale afbeeldingen. Hij moet dus begrepen hebben dat dat een van de doelen is, dat hij dat moet kunnen, en dat de testvraag ertoe strekte om na te gaan of dat doel bereikt is. De leerling die naar de andere kant van de gymzaal loopt en een reprimande krijgt van de gymleraar omdat hij niet over de bok gesprongen is heeft geen goede reden om in beroep te gaan, ook niet als omstanders menen dat hij 'creatief' is geweest

A.H. Degens ( degensah[(a)]euronet.nl )

REACTIE OP NOTA "RIJK AAN BETEKENIS" (CTWO)

Waardering

In de eerste plaats wil ik opmerken dat ik het initiatief om te komen tot een goede doordenking van het wiskundeonderwijs ten zeerste toejuich. Voor de inhoud van de nota heb ik veel waardering. Er is echter één aspect wat ik ondergewaardeerd vind in de hele nota en daar wil ik aandacht voor vragen.

Te weinig aandacht voor verwerven van wiskundig gereedschap

In paragraaf 1 wordt geschetst hoe het zou moeten zijn. Waar het gaat om de leerlingen en wiskunde zie ik veel formuleringen waar ik het van harte mee eens ben:
'zij ontdekken dat wiskunde onmisbaar is in techniek en wetenschap, maar ook nauw verweven is met cultuur en dagelijks leven. Afhankelijk van het gekozen wiskundevak leren zij wiskundige kennis met inzicht te gebruiken in authentiek maatschappelijke, economische en sociaalwetenschappelijke situaties of in natuurwetenschappelijke en technische toepassingen. Met name bij wiskunde B en D verwerven leerlingen inzicht in wiskundige structuren … . '
Daarbij en ook bij de formuleringen onder Wiskundige inhoud en Didactische werkwijze mis ik toch één ding. Dat is dat van leerlingen mag worden verwacht dat ze bij verlaten van de school beschikken over een aantal wiskundige vaardigheden die toegespitst zijn op de vervolgopleiding.
Bij een vervolg in de wiskunde, de natuurwetenschap en/of techniek behoren tot die vaardigheden het kunnen oplossen van tweedegraads vergelijkingen (zonder GRM) van derde- en hogeregraads vergelijkingen met behulp van de factorstelling, enige vaardigheid in het oplossen van wortelvergelijkingen, logaritmische, exponentiële en goniometrische vergelijkingen, van het differentiëren van functies en vereenvoudigen van de afgeleide tot een 'herkenbaar' voorschrift, het integreren van functies met behulp van een aantal nader af te spreken integratietechnieken (voor het VWO), allemaal ook zonder de GRM.. En voor alle leerlingen behoort tot die bagage het schattend kunnen rekenen, wat weer niet kan zonder de nodige vaardigheid in het rekenen met tafels, hoofdrekenen dus. Vanzelfsprekend weer zonder gebruik te maken van de rekenmachine.

Consequenties voor het programma

Een en ander heeft als consequentie voor het onderwijsprogramma en met name voor de aangeboden lesstof (c.q. de leerboeken) dat er meer ruimte moet worden gemaakt voor het inoefenen van deze vaardigheden zowel voor klas 1, 2 en 3 als voor de leerjaren in de tweede fase. Niet om daarmee terug te keren naar de wiskunde van vóór de mammoetwet. Maar op het juiste moment in de juiste dosering net even wat meer tijd besteden aan het 'eigen maken' van deze vaardigheden dan we nu doen. In klas 1 en 2 geldt dat vooral voor het hoofdrekenen (klas 2 wellicht ook wat wortelrekenen) en in klas 3 voor het begin van het letterrekenen tot en met de kwadratische vergelijking. In klas 4 kun je dan – bij wiskunde B en D - het automatiseren van rekenen met machten en logaritmen, de factorstelling voor hogeregraads vergelijkingen meenemen. En in klas 5 en 6 het automatiseren van het differentiëren en integreren. Waarmee ik niet wil zeggen dat deze opsomming volledig is.
Een en andere kan heel goed in het programma ingepast worden zonder dat je het realistische karakter van de wiskunde en het zelfontdekkende element in de aangeboden leerstof – verworvenheden van de wiskunde van na de mammoetwet! – verliest. In de huidige leerboeken wordt alles wel aangeboden, maar het inoefenen waardoor je over parate kennis gaat beschikken ten aanzien van hoofdrekenen en het letterrekenen blijft nu te veel achterwege. Dat geldt zowel voor het hoofdrekenen als voor de vaardigheid in het oplossen van vergelijkingen, het manipuleren met formules, kortweg het letterrekenen (de algebra).
In de publicaties van de vervolgopleidingen die cursussen aanbieden en in het bedoelde rapport proef ik sterk de behoefte om leuke onderwerpen uit de wiskunde - ook die nu in het geheel niet in het programma zitten – een plaats te geven in de nieuwe wiskunde-D-programma's. Dat is op zich een nobel streven en daar zal ik graag aan meewerken. Maar het mag niet gaan ten koste van het aanleren van het wiskundig gereedschap dat de leerling nodig heeft om goed voorbereid te kunnen starten in het vervolgonderwijs.

Rekenmachine

Graag pleit ik ook voor een herbezinning op de plaats van de rekenmachine in ons onderwijs. Voor veel leerlingen , met name in het VMBO, is de rekenmachine een uitkomst. Voor leerlingen die wiskunde A kiezen in de HAVO en het VWO geldt datzelfde voor de GRM. Maar het in alles vertrouwen op die rekenmachines heeft tot gevolg dat de in de basisschool zorgvuldig aangeleerde hoofdrekentechnieken tot het beheersen van de tafels aan toe gewoon wegslijt uit het geheugen. Door die vaardigheid vaker aan te spreken en uit te bouwen, door beperkter gebruik te maken van de rekenmachine en in de Tweede Fase een beperkter gebruik te maken van de GRM – met name bij wiskunde B en D - kunnen we de leerlingen veel weerbaarder afleveren voor het vervolgonderwijs. De rekenmachine heeft misschien een te prominente plaats gekregen in ons onderwijs.

Toetsen

In het rapport lees ik voor het eerst expliciet over het 'automatiseren van wiskundige en in het bijzonder algebraïsche vaardigheden' in de paragraaf over toetsing en examinering. Zie stelling 15. Ik zou daarvoor graag aandacht willen vragen vanaf de eerste paragraaf onder wiskundige inhoud en didactische werkwijze. Daar zou ik formuleringen opnemen over het automatiseren om het belang hiervan te onderstrepen.

Rens Houtman, Kalsbeek College, Woerden cl.houtman[(a)]filternet.nl

IN ZEE MET WISKUNDE D

Door de Universiteit Twente, de TU's Delft en Eindhoven en de Radboud Universiteit is een gemeenschappelijke website in de lucht gebracht, www.wiskundeDsteun.nl, waarop deze instellingen bijscholingscursussen wiskunde D aankondigen. Deze cursussen, bedoeld voor vwo-docenten van scholen die in 2007 met wiskunde D willen starten, worden gegeven door de regionale steunpunten van genoemde instellingen. De scholing, in vijf bijeenkomsten, gaat in op elk van de domeinen Meetkunde, Dynamische modellen, Statistiek en kansrekening, als ook op Wiskunde in wetenschap. URL: www.wiskundeDsteun.nl

Bron: WPD (www.wiskundepersdienst.nl)

NIEUWE BOVENGRENS VOOR KUSSEN IN HOGERE DIMENSIES

Frank Vallentin van het Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) en Christine Bachoc van de Université Bordeaux hebben nieuwe bovengrenzen gevonden voor het 'kussen' in hogere dimensies. In de meetkunde is het kusgetal het maximum aantal eenheidsbollen dat tegelijkertijd een centrale bol kan raken, zonder elkaar te overlappen. In twee dimensies is het kusgetal zes. Dit kun je goed zien als je euro's om een centrale euromunt groepeert, zie homepages.cwi.nl/~vallenti/Pictures/ . Het kusgetal is alleen bekend in de dimensies 1, 2, 3, 4, 8 en 24. Voor de dimensies 5, 6, 7, 9 en 10 vonden Vallentin en Bachoc nu betere bovengrenzen. Op vrijdag 24 november geeft Frank Vallentin een lezing over dit onderwerp op het CWI in Amsterdam. Het kusprobleem heeft een rijke historie. Isaac Newton en David Gregory hielden in 1684 een beroemd geworden discussie over het kusgetal in drie dimensies. Gregory beweerde dat er dertien ballen om een bal zouden passen terwijl Newton claimde dat het kusgetal twaalf was. Dat Newton gelijk had, werd pas in 1953 aangetoond door Schütte en Van der Waerden. In 1970 ontwikkelde Delsarte een methode om de bovengrens van het kusgetal te bepalen, gebaseerd op lineair programmeren. Voor bijvoorbeeld vier dimensies is de Delsarte-grens 25 terwijl het exacte getal 24 is, bewezen door Musin in 2003. Vallentin en Bachoc ontwikkelden nu een nieuwe methode om de bovengrens van het kusgetal te bepalen, gebaseerd op representatietheorie en semidefiniet programmeren. Voor alle dimensies vonden de wiskundigen de tot nu toe beste bovengrens. Voor de dimensies 1, 2, 3, 4, 8 en 24 vonden zij opnieuw het precieze kusgetal. In vijf dimensies brachten ze de bovengrens van 45 terug tot 44, terwijl er bijvoorbeeld in tien dimensies 27 bollen minder bleken te kunnen kussen dan bekend was. De onderzoekers gebruikten voor hun methode resultaten van Spinozawinnaar Lex Schrijver. Zij gaven hun vinding in augustus vrij op internetarchief arxiv.org . Het onderzoek naar kusgetallen heeft toepassingen in de meetkunde, de radiocommunicatie, error correcting codes en snaartheorie in de theoretische natuurkunde. Plaats: Amsterdam URL: www.cwi.nl/pr/press-releases/2006/pb-kusgetal-2okt06.html

Bron: WPD (www.wiskundepersdienst.nl)

VAKDIDACTICUS WISKUNDE ( ADVERTENTIE)

De afdeling DIAM (Delft Institute of Applied Mathematics) van de faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica van de TU Delft vraagt per 1 januari aanstaande, of zoveel eerder als mogelijk is, een vakdidacticus wiskunde. De vakdidacticus is, in samenwerking met de andere wiskundedidacticus, in brede zin werkzaam op het terrein van de vakdidactiek wiskunde, zowel binnen de Technische Universitaire Lerarenopleiding (de TULO) als ten behoeve van de opleiding Technische Wiskunde van de TU Delft. Tevens draagt de vakdidacticus zorg voor de organisatie en de begeleiding van het schoolpracticum van de TULO-Wiskunde. Nadere informatie is te vinden op www.vacaturesindelft.nl -> Banen in de Wetenschap ->>> Docent/Vakdidacticus Wiskunde


WiskundE-brief
redactie Jos Andriessen en Gerard Koolstra
e-mail: j_andriessen[at}wanadoo.nl of wiskunde-brief[at}xs4all.nl