examenstof wiskunde D vwo

Het eindexamen bestaat uit het schoolexamen.

Toelichting

Docenten hebben bij wiskunde D meer dan bij andere wiskundeprogramma’s ruimte om keuzes te maken o.a. t.a.v:

 

[sluit ].

Domein A: Vaardigheden

toelichting domein A

De vaardigheden voor wiskunde D zijn opgesteld naar aanleiding van overleg tussen de vernieuwingscommissies van de verschillende bètavakken over de invoering van de nieuwe examenprogramma's vanaf 2010 (2011).
Het domein "Vaardigheden" kent drie niveaus: het profieloverstijgende niveau, het profielniveau en het vakniveau. Deze vaardigheden komen grotendeels ook aan bod in het examenprogramma voor wiskunde B, maar het aantal eindtermen is in de nieuwe bètabrede opzet wat uitgebreider.

[sluit toelichting domein].

Subdomein A1: Algemene vaardigheden

toelichting subdomein A1

Deze vaardigheden komen voor in de examenprogramma’s van alle vakken, zowel in het gemeenschappelijk- als het profieldeel.
Praktische opdrachten kunnen een belangrijke rol spelen bij het aandacht besteden aan deze vaardigheden.
Overleg met andere vakken is zeer gewenst.

[sluit toelichting subdomein].

 

  1. Informatievaardigheden
    De kandidaat kan doelgericht informatie zoeken, beoordelen, selecteren en verwerken.
  2. Communiceren
    De kandidaat kan adequaat schriftelijk, mondeling en digitaal in het publieke domein communiceren over onderwerpen uit de wiskunde.
  3. Reflecteren op leren
    De kandidaat kan bij het verwerven van vakkennis en vakvaardigheden reflecteren op eigen belangstelling, motivatie en leerproces.
  4. Studie en beroep
    De kandidaat kan toepassingen en effecten van wiskunde en natuurwetenschappen in verschillende studie- en beroepssituaties herkennen en benoemen. Daarnaast kan de kandidaat een verband leggen tussen de praktijk van deze studies en beroepen en de eigen kennis, vaardigheden en belangstelling.
[sluit].

Subdomein A2: Wiskundige en natuurwetenschappelijke vaardigheden

toelichting subdomein A2

Deze eindtermen zijn gelijkluidend in de nieuwe examenprogramma’s (vanaf 2010/2011) voor biologie, natuurkunde, scheikunde, het nieuwe bètavak ´Natuur, leven en technologie' (NLT) en wiskunde. Ook voor de examenprogramma's van 2007 vertonen deze vaardigheden veel overeenkomsten.
Deze wiskundige en natuurwetenschappelijke vaardigheden kunnen zowel in schriftelijke toetsen als in praktische opdrachten worden getoetst. Hierbij is afstemming met de collega's van de bètavakken zeer wenselijk.

[sluit toelichting subdomein].

 

  1. Onderzoeken
    De kandidaat kan een probleemsituatie in een wiskundige, natuurwetenschappelijke of economische context analyseren, gebruik makend van relevante begrippen en theorie vertalen in een vakspecifiek onderzoek, dat onderzoek uitvoeren, en uit de onderzoeksresultaten conclusies trekken.
  2. Ontwerpen
    De kandidaat kan een ontwerp op basis van een gesteld probleem voorbereiden, uitvoeren, testen en evalueren en daarbij relevante begrippen en theorie gebruiken.
  3. Modelvorming
    De kandidaat kan een realistisch probleem in een context analyseren, inperken tot een hanteerbaar probleem, vertalen naar een model, modeluitkomsten genereren en interpreteren en het model toetsen en beoordelen.
  4. Redeneren
    De kandidaat kan met gegevens van wiskundige en natuurwetenschappelijke aard consistente redeneringen opzetten van zowel inductief als deductief karakter.
  5. Waarderen en oordelen
    De kandidaat kan een beargumenteerd oordeel over een situatie in de natuur of een technische toepassing geven, en daarin onderscheid maken tussen wetenschappelijke argumenten en persoonlijke uitgangspunten.
[sluit].

Subdomein A3: Wiskundige vaardigheden

toelichting subdomein A3

Deze vaardigheden, waaronder oplossingsvaardigheden, zullen voornamelijk aan de hand van de vakinhoudelijke domeinen worden getoetst.

[sluit toelichting subdomein].

 

  1. Algebraïsche vaardigheden
    De kandidaat beheerst de bij het examenprogramma passende rekenkundige en algebraïsche vaardigheden, heeft inzicht in de bijbehorende formules en kan de bewerkingen uitvoeren.
  2. Vaktaal, conventies en notaties
    De kandidaat kan correcte vakspecifieke taal en terminologie interpreteren en produceren, inclusief formuletaal, conventies en notaties.
  3. Oplossingsvaardigheden
    De kandidaat kan een oplossingsstrategie kiezen, deze correct toepassen en gevonden oplossingen controleren op wiskundige juistheid.
[sluit].

 

[sluit subdomeinen].

Domein B: Kansrekening en statistiek

toelichting domein B

Het domein "Kansrekening en statistiek" streeft verbreding en verdieping na. Bovendien blijkt het een belangrijke wens van universitaire vervolgopleidingen als geneeskunde en technische studies.
Binnen het domein kunnen de domeinen "Combinatoriek en kansrekening" en "Statistiek en kansrekening" uit het wiskunde A-programma volledig worden behandeld. De school kan dit domein dus realiseren door een gecombineerd aanbod van het wiskunde A-programma rond statistiek en kansrekening voor zowel wiskunde A- als wiskunde D-leerlingen.
Hoewel deze invulling voordelen heeft bij kleine leerlingenaantallen, biedt het minder mogelijkheid voor differentiatie tussen de A- en de D-leerling. Toch moet de profielspecifieke verdieping in samenhang met de stof van wiskunde B niet uit het oog worden verloren.
Overigens kan het domein "Kansrekening en statistiek" ook interessant zijn voor leerlingen met wiskunde B, met het oog op vervolgopleidingen. Zij kunnen dit domein in de vrije ruimte kiezen als de school dat toestaat.

suggesties

[sluit suggesties].

[sluit toelichting domein].

Subdomein B1: Combinatoriek

  1. De kandidaat kan combinatorische problemen oplossen waarin permutaties en combinaties worden toegepast.
[sluit].

Subdomein B2: Kansrekening

  1. De kandidaat kan een toevalsexperiment vertalen in een kansmodel, de begrippen onafhankelijke gebeurtenis en voorwaardelijke kans hanteren, kansen berekenen met behulp van som-, complementen productregel, en van een discrete toevalsvariabele de verwachtingswaarde berekenen.
[sluit].

Subdomein B3: Ordenen, verwerken en samenvatten van statistische gegevens

  1. De kandidaat kan, ook met behulp van ICT, waarnemingen verwerken in een tabel, data visualiseren in een passend diagram, gegevens samenvatten in geschikte centrum- en spreidingsmaten en gegeven grafische representaties interpreteren.
[sluit].

Subdomein B4: Kansverdelingen

  1. De kandidaat kan het binomiale en het (standaard-)normale verdelingsmodel gebruiken voor het berekenen van kansen, relatieve frequenties, grenswaarden, gemiddelden en standaardafwijkingen van discrete en continue verdelingen.
[sluit].

Subdomein B5: Het toetsen van hypothesen

  1. De kandidaat kan nul- en alternatieve hypothesen formuleren en bijbehorende een- of tweezijdige toets uitvoeren bij binomiaal- of normaal-verdeelde toevalsvariabelen.
[sluit].

Subdomein B6: Profielspecifieke verdieping

  1. De kandidaat kan de stof van wiskunde B gebruiken voor een profielspecifieke verdieping.

toelichting

Gedacht kan o.a. worden aan differentiaal- en integraalrekening. [sluit toelichting].

[sluit].

 

[sluit subdomeinen].

Domein C: Dynamische modellen 1

toelichting domein C

Modelleren in de natuurwetenschappelijke betekenis heeft betrekking op een proces waarin een cyclus van stappen onderscheiden kan worden. In het examenprogramma voor wiskunde D heeft eindterm 7 in het bètabrede domein A2 betrekking op de activiteit Modelleren. Dynamische modellen (domein C en evt. F) heeft betrekking op een onderdeel van de modelleercyclus: minimaal het mathematiseren van een nauwkeurig omschreven onderwerp (een dynamisch systeem) en het onderzoeken van de wiskundige eigenschappen van de formule.

Subdomein C1 heeft betrekking op discrete dynamische modellen, vergelijkbaar met wat in domein Hb van het ‘oude’ vwo B12-programma staat, maar uiteraard minder gedetailleerd. De leerling moet rijen kunnen relateren aan een aantal zaken, waaronder webgrafieken en contexten en moeten het gedrag van een bepaalde rij kunnen beschrijven als stationair, convergerend of divergerend. In deze eindterm wordt bijvoorbeeld niet voorgeschreven dat de leerling zelf vergelijkingen opstelt, zelf webgrafieken tekent of met limieten kan werken. Relateren en beschrijven zijn de hier gevraagde activiteiten. Meer mag natuurlijk wel,de docent bepaalt de inhoud van het aangeboden programma.

Subdomein C2 heeft betrekking op continue dynamische modellen, vergelijkbaar met domein Cb van vwo B12. De leerling moet niet alleen in differentiaalvergelijkingen eigenschappen van de functie kunnen relateren aan eigenschappen van de oplossing maar ook in eenvoudige gevallen die oplossing zelf kunnen bepalen. Vergeleken met het oude domein Cb wordt hier niet geëist dat een leerling een richtingsveld kan gebruiken om een grafisch beeld te krijgen, een differentiaalvergelijking kan opstellen of de eigenschappen van een oplossing in termen van het gemodelleerde proces kan interpreteren.

Toepassingen voor continue modellen komen aan de orde in subdomein C3. Leerlingen moet de in C1 en C2 genoemde technieken kunnen gebruiken in concrete toepassingen. Dat hoeft geen toepassing buiten het gebied van de wiskunde te zijn, maar het mag wel.

In het keuzedomein F wordt een profielspecifieke verdieping genoemd, te denken valt aan disciplines als natuurkunde, scheikunde, biologie of een interdisciplinair onderwerp zoals in het nieuwe bètavak 'Natuur, leven en technologie' aangeboden wordt (zie paragraaf 6.3). Een wiskundig onderwerp mag trouwens ook volgens deze eindterm, dus u kunt er voor kiezen om het en hele onderwerp strikt wiskundig te houden.

Docenten kunnen bij dit onderwerp uitgaan van wiskundige begrippen en pas in een later stadium toepassingen laten zien. Het is ook heel goed mogelijk om te starten met het bredere begrip modelleren en een bepaalde context, b.v. een epidemie en van daaruit Dynamische modellen en de verschillende wiskundige begrippen een plaats te geven. In beide gevallen kunnen docenten gebruik maken van verschillende hulpmiddelen: pen-en-papier, GR, internet, modelleersoftware, lespakketjes, etc.

suggesties

  • De website van cTWO biedt een document met specificaties van de globale eindtermen, met voorbeelden en met een uitgewerkte suggestie voor het keuzedomein F. Dit zijn geen bindende voorschriften maar adviezen van twee commissieleden gebaseerd op hun gedachten over uitwerking van de globale eindtermen.
  • Op de website van cTWO is ook een link te vinden naar lesmateriaal van Johan Duprez en Jan Roels. Dit heeft betrekking op subdomein C1: Discrete dynamische modellen. Het is ontwikkeld ten behoeve van het Vlaamse onderwijs en maakt gebruik van een leerlingentekst, GR en Excel. Er komen meer begrippen aan de orde dan in de eindterm van subdomein C1 worden genoemd.
  • Op een site van TU Eindhoven staat materiaal voor een praktische opdracht over continue dynamische modellen, subdomein C2 uit het examenprogramma.
  • Moderne Wiskunde heeft in VWO wiskunde D deel 1 een hoofdstuk over Modelleren en een hoofdstuk over Rijen opgenomen. Het hoofdstuk over modelleren maakt gebruik van VU-Stat en Powersim, het begint met een inleiding over modelleren en behandelt daarna o.a. mathematiseren en recursieve betrekkingen
  • Er wordt gewerkt aan een E-klas Discrete dynamische systemen door de werkgroep Dynamische modellen Amsterdam
  • Wat betreft subdomein C3 zijn er tal van natuurkundige, biologische en economische onderwerpen die te maken hebben met veranderingen in de tijd en in een aantal gevallen ook voor vwo-leerlingen te begrijpen zijn
[sluit suggesties].

[sluit toelichting domein].

Subdomein C1: Discrete dynamische modellen

  1. De kandidaat kan rijen relateren aan recurrente betrekkingen, iteraties, webgrafieken en contexten en kan het gedrag ervan beschrijven in termen van stationair, convergerend of divergerend.
[sluit].

Subdomein C2: Continue dynamische modellen

  1. De kandidaat kan in differentiaalvergelijkingen van de vorm y' = f (y, t) eigenschappen van f relateren aan eigenschappen van oplossingen, zoals het al dan niet stationair zijn, monotonie en asymptotisch gedrag en in eenvoudige gevallen een oplossing expliciet bepalen.
[sluit].

Subdomein C3: Toepassingen van discrete en continue dynamische modellen

  1. De kandidaat kan de stof uit de subdomeinen C1 en C2 gebruiken in concrete toepassingen.
[sluit].

 

[sluit subdomeinen].

Domein D: Meetkunde

toelichting domein D

Analytische meetkunde is lang weggeweest in de bovenbouw van het vwo. Een herinvoering is volgens cTWO wenselijk voor leerlingen die op academisch niveau verder gaan in science of techniek. Leerlingen leren dat zowel in de wiskunde zelf als in toepassingen ervan aan problemen met een meetkundig karakter vooral met analytische technieken gewerkt wordt. Gebruik van algebraïsche vaardigheden is cruciaal bij dit vakgebied.

In het domein "Meetkunde" wordt begonnen met de analytische aanpak van meetkunde, waarbij ook coördinaten in drie dimensies aan de orde komen. Punten, lijnen en vlakken worden gealgebraïseerd. Vervolgens wordt aansluiting gezocht met het meetkundeprogramma uit wiskunde B door invulling met kegelsneden. Ook onderwerpen uit het 'oude' wiskunde B12-programma die niet meer in het wiskunde B programma voorkomen komen aan bod.

Zowel inzicht in als ervaring met de analytische methode is essentieel in het gebruik van wiskunde in een meetkundige context. Het is tevens een belangrijk toepassings- en trainingsgebied voor algebra en algebraïsch modelleren, zoals het aanbrengen van een coördinatenstelsel, het kiezen van onbekenden en het opstellen van vergelijkingen. Daarnaast kunnen toepassingen van analytische methoden onderzocht worden met behulp van ICT.

Op www.ctwo.nl is een uitgebreide domeinbeschrijving van de analytische meetkunde te vinden. Daarin komen onder andere de te veronderstellen voorkennis, een gedetailleerde inhoudelijke beschrijving van de subdomeinen, de te beheersen (algebraïsche) technieken en de omvang en plaatsing in het programma aan bod.

Overladenheid moet bij dit domein worden voorkomen. Dat is een gevaar voor de te bereiken diepgang. De aandacht over de verschillende subdomeinen moet op een goede manier worden verdeeld. Docenten kunnen ervoor kiezen bepaalde subdomeinen alleen globaal te behandelen en anderen juist meer verdiepend.

suggesties

  • Op de website van cTWO staat lesmateriaal bij dit domein.
  • De TU Delft is op het moment van schrijven van deze handreiking bezig met het ontwikkelen van een module analytische meetkunde
  • Voor het onderzoeken van toepassingen van analytische methoden kan gebruik worden gemaakt van ICT. Mogelijke programma's zijn Geogebra , Geocadabra en Cabri.
  • Dick Klingensheeft een website waarin verschillende onderwerpen uit de analytische meetkunde aan bod komen:
[sluit suggesties].

[sluit toelichting domein].

Subdomein D1: Oriëntatie op analytische en synthetische methoden

  1. De kandidaat kan analytische methoden en algebraïsche technieken toepassen op meetkundige problemen, ook bij bewijzen.
[sluit].

Subdomein D2: Coördinaten, vergelijkingen en figuren in twee dimensies

  1. De kandidaat kan eigenschappen van aard en ligging van figuren in een vlak onderzoeken vanuit vergelijkingen en kan in een gegeven of zelfgekozen coördinatenstelsel vergelijkingen van figuren opstellen.
[sluit].

Subdomein D3: Lijnen, cirkels en kegelsneden in coördinaten

  1. De kandidaat kan op verschillende manieren vergelijking van lijnen, cirkels en kegelsneden opstellen, en op grond van vergelijkingen ligging en eigenschappen van de bijbehorende figuren onderzoeken.
[sluit].

Subdomein D4: Parametrisering

  1. De kandidaat kan een parametrisering van een figuur gebruiken om eigenschappen ervan vast te stellen en kan in geschikte gevallen een parametrisering van een figuur opstellen.
[sluit].

Subdomein D5: De ruimte

  1. De kandidaat kan de beschrijving van punten in de ruimte met drie coördinaten gebruiken, met name bij bollen en eenvoudige omwentelingsoppervlakken.
[sluit].

Subdomein D6: Toepassingen en ICT

  1. De kandidaat kan toepassingen van analytische meetkunde onderzoeken, ook met behulp van ICT.
[sluit].

 

[sluit subdomeinen].

Domein E: Complexe getallen *

In het schoolexamen moeten beide domeinen E en F, of het domein G aan de orde komen

toelichting domein E

Voor scholen die bijvoorbeeld door de geografische ligging geen samenwerking met een universiteit kunnen of willen realiseren is als alternatief het schoolmodel opgesteld. In dit model komen in plaats van "Wiskunde in wetenschap" de domeinen "Complexe getallen" en "Dynamische modellen 2" aan bod.

Voor de keuze van "Complexe getallen" is gepleit vanuit de vervolgopleidingen. Universiteiten hebben verschillend lesmateriaal op dit gebied ontwikkeld. Op de website van cTWO wordt dit lesmateriaal aangeboden. Ook is er uitgebreid lesmateriaal van verschillende scholen te vinden.
Naast het lesmateriaal is er op de website een presentatie te vinden met achtergrondinformatie voor docenten die met het beschikbare experimenteermateriaal over complexe getallen willen gaan werken. cTWO benadrukt dat het aanbeveling verdient om complexe getallen ook in een meetkundige context te behandelen. Onder andere het lesmateriaal dat is ontwikkeld door de TU Eindhoven geeft gehoor aan deze wens.

[sluit toelichting domein].

Subdomein E1: Basisoperaties

  1. De kandidaat kan rekenen met complexe getallen, de geconjugeerde, het argument en de absolute waarde, kan de stelling van De Moivre gebruiken en kan rekenen met de formule van Euler als representatie van poolcoördinaten.
[sluit].

Subdomein E2: Profielspecifieke verdieping

  1. De kandidaat kan de stof van subdomein E1 gebruiken voor een profielspecifieke verdieping.
[sluit].

 

[sluit subdomeinen].

Domein F: Dynamische modellen 2 *

In het schoolexamen moeten beide domeinen E en F, of het domein G aan de orde komen

toelichting domein F

Op de site van cTWO staat in het voorstel voor een gedetailleerd programma een voorbeeld van een profielspecifieke verdieping die zuiver wiskundig is (Tweede orde differentiaalvergelijkingen).
’Profielspecifiek’ hoeft zich niet te beperken tot wiskunde, een verdieping vanuit een van de andere profielvakken kan uiteraard ook. Bijvoorbeeld een uitgave als "De wiskundige kat, de biologische muis en de jacht op inzicht" bevat vele aanknopingspunten uit de biologie. Ook natuurkunde geeft veel onderwerpen die geschikt zijnvoor dit domein.

[sluit toelichting domein].
  1. De kandidaat kan de stof van domein C gebruiken voor een profielspecifieke verdieping.
[sluit].

Domein G: Wiskunde in wetenschap *

In het schoolexamen moeten beide domeinen E en F, of het domein G aan de orde komen

toelichting domein G

Scholen kunnen er voor kiezen om voor 80 slu samenwerking met het hoger onderwijs een structurele plaats te geven in het examenprogramma. Het Rapport Wiskunde D 2007 zegt over dit domein: "Het beoogt leerlingen zicht te geven op wiskunde als wetenschap en op de manier waarop wiskunde binnen exacte wetenschappen functioneert. Het gaat hierbij niet alleen om de wiskundige resultaten, maar ook om het proces van het bedrijven van wetenschap. Wiskunde in wetenschap wordt vormgegeven in nauwe samenwerking met universiteiten. Een dergelijke samenwerking bevordert de doorlopende leerlijn van vo naar ho en komt niet alleen de kwaliteit en actualiteit van de inhoud ten goede, maar heeft ook een positief effect op de doorstroming."

suggesties

De invulling van het domein wordt in overleg met de regionale wo-instelling vastgesteld. Naast samenwerking met universiteiten wordt ook samenwerking met onderzoeksinstellingen uit het bedrijfsleven aanbevolen. Enkele suggesties die in het rapport worden gedaan zijn:
  • een masterclass rond een uitdagend en voor de doelgroep relevant onderwerp, die in samenwerking met de hbo-instelling wordt ontwikkeld en/of uitgevoerd;
  • een onderzoeksopdracht die onderzoeksmatige vaardigheden vraagt en gericht is op een wetenschappelijke denkmethode;
  • door universiteiten aangeboden modules die zich lenen voor afstandsonderwijs.

Met het oog hierop zijn door universiteiten (en andere instellingen van h.o.) steunpunten wiskunde D ingesteld:

[sluit suggesties].

[sluit toelichting domein].
  1. De onderwerpen worden door de school aan leerlingen aangeboden, komen voort uit aanbod van het hoger onderwijs en kunnen, indien de school daarvoor kiest, voor elke kandidaat verschillend zijn.
[sluit].

Domein H: Keuzeonderwerpen

toelichting domein H

In het examenprogramma is 40 slu gereserveerd voor een of meerdere keuzeonderwerpen. Dit geeft scholen, docenten en leerlingen de mogelijkheid een eigen invulling aan wiskunde D te geven. De onderwerpen kunnen ter verdieping aansluiten bij de vaste domeinen, maar kunnen ook voor verbreding zorgen vanuit nieuwe en actuele perspectieven, ook in andere exacte vakken. De onderwerpen kunnen, indien de school daarvoor kiest, voor elke kandidaat verschillend zijn.

suggesties

  • Een veel gebruikte invulling voor de keuzeruimte van het vwo zijn de Zebra-boekjes van Epsilon. Onderwerpen waarover gepubliceerd is zijn onder andere: pi, de laatste stelling van Fermat, fractals, chaos, Babylonische wiskunde, geschiedenis van de niet-Euclidische meetkunde, speltheorie, gravitatie en oneindig. Verder zijn er verschillende boekjes verschenen over kansrekening en statistiek.
    Bij het gebruik van deze boekjes moet wel rekening worden gehouden met de gewijzigde voorkennis van de leerlingen door de vernieuwde inhoud van de programma’s.
  • Ook de verschillende regionale steunpunten bieden lesmateriaal voor keuzeonderwerpen aan. Het steunpunt Amsterdam (http://www.wiskunded.nl/amsterdam) heeft o.a. lesmateriaal bij de volgende onderwerpen verzameld:
  • [sluit suggesties].

    [sluit toelichting domein].

    Naast de keuzeonderwerpen bedoeld bij domein H kunnen andere vakonderdelen, die per kandidaat kunnen verschillen, onderdeel uitmaken van het schoolexamen

     

    [sluit ].