examenstof wiskunde D vwo

De vaardigheden voor wiskunde D zijn opgesteld naar aanleiding van overleg tussen de vernieuwingscommissies van de verschillende bètavakken over de invoering van de nieuwe examenprogramma's vanaf 2010 (2011).
Het domein "Vaardigheden" kent drie niveaus: het profieloverstijgende niveau, het profielniveau en het vakniveau. Deze vaardigheden komen grotendeels ook aan bod in het examenprogramma voor wiskunde B, maar het aantal eindtermen is in de nieuwe bètabrede opzet wat uitgebreider.

1. Informatievaardigheden
   De kandidaat kan doelgericht informatie zoeken, beoordelen, selecteren en verwerken.
2. Communiceren
   De kandidaat kan adequaat schriftelijk, mondeling en digitaal in het publieke domein communiceren over onderwerpen uit de wiskunde.
3. Reflecteren op leren
   De kandidaat kan bij het verwerven van vakkennis en vakvaardigheden reflecteren op eigen belangstelling, motivatie en leerproces.
4. Studie en beroep
   De kandidaat kan toepassingen en effecten van wiskunde en natuurwetenschappen in verschillende studie- en beroepssituaties herkennen en benoemen. Daarnaast kan de kandidaat een verband leggen tussen de praktijk van deze studies en beroepen en de eigen kennis, vaardigheden en belangstelling.

5. Onderzoeken
   De kandidaat kan een probleemsituatie in een wiskundige, natuurwetenschappelijke of economische context analyseren, gebruik makend van relevante begrippen en theorie vertalen in een vakspecifiek onderzoek, dat onderzoek uitvoeren, en uit de onderzoeksresultaten conclusies trekken.
6. Ontwerpen
   De kandidaat kan een ontwerp op basis van een gesteld probleem voorbereiden, uitvoeren, testen en evalueren en daarbij relevante begrippen en theorie gebruiken.
7. Modelvorming
   De kandidaat kan een realistisch probleem in een context analyseren, inperken tot een hanteerbaar probleem, vertalen naar een model, modeluitkomsten genereren en interpreteren en het model toetsen en beoordelen.
8. Redeneren
   De kandidaat kan met gegevens van wiskundige en natuurwetenschappelijke aard consistente redeneringen opzetten van zowel inductief als deductief karakter.
9. Waarderen en oordelen
   De kandidaat kan een beargumenteerd oordeel over een situatie in de natuur of een technische toepassing geven, en daarin onderscheid maken tussen wetenschappelijke argumenten en persoonlijke uitgangspunten.

10. Algebraïsche vaardigheden
    De kandidaat beheerst de bij het examenprogramma passende rekenkundige en algebraïsche vaardigheden, heeft inzicht in de bijbehorende formules en kan de bewerkingen uitvoeren.
11. Vaktaal, conventies en notaties
    De kandidaat kan correcte vakspecifieke taal en terminologie interpreteren en produceren, inclusief formuletaal, conventies en notaties.
12. Oplossingsvaardigheden
    De kandidaat kan een oplossingsstrategie kiezen, deze correct toepassen en gevonden oplossingen controleren op wiskundige juistheid.

Het domein "Kansrekening en statistiek" streeft verbreding en verdieping na. Bovendien blijkt het een belangrijke wens van universitaire vervolgopleidingen als geneeskunde en technische studies.
Binnen het domein kunnen de domeinen "Combinatoriek en kansrekening" en "Statistiek en kansrekening" uit het wiskunde A-programma volledig worden behandeld. De school kan dit domein dus realiseren door een gecombineerd aanbod van het wiskunde A-programma rond statistiek en kansrekening voor zowel wiskunde A- als wiskunde D-leerlingen.
Hoewel deze invulling voordelen heeft bij kleine leerlingenaantallen, biedt het minder mogelijkheid voor differentiatie tussen de A- en de D-leerling. Toch moet de profielspecifieke verdieping in samenhang met de stof van wiskunde B niet uit het oog worden verloren.
Overigens kan het domein "Kansrekening en statistiek" ook interessant zijn voor leerlingen met wiskunde B, met het oog op vervolgopleidingen. Zij kunnen dit domein in de vrije ruimte kiezen als de school dat toestaat.

13. De kandidaat kan combinatorische problemen oplossen waarin permutaties en combinaties worden toegepast.

14. De kandidaat kan een toevalsexperiment vertalen in een kansmodel, de begrippen onafhankelijke gebeurtenis en voorwaardelijke kans hanteren, kansen berekenen met behulp van som-, complementen productregel, en van een discrete toevalsvariabele de verwachtingswaarde berekenen.

15. De kandidaat kan, ook met behulp van ICT, waarnemingen verwerken in een tabel, data visualiseren in een passend diagram, gegevens samenvatten in geschikte centrum- en spreidingsmaten en gegeven grafische representaties interpreteren.

16. De kandidaat kan het binomiale en het (standaard-)normale verdelingsmodel gebruiken voor het berekenen van kansen, relatieve frequenties, grenswaarden, gemiddelden en standaardafwijkingen van discrete en continue verdelingen.

17. De kandidaat kan nul- en alternatieve hypothesen formuleren en bijbehorende een- of tweezijdige toets uitvoeren bij binomiaal- of normaal-verdeelde toevalsvariabelen.

18. De kandidaat kan de stof van wiskunde B gebruiken voor een profielspecifieke verdieping.

Modelleren in de natuurwetenschappelijke betekenis heeft betrekking op een proces waarin een cyclus van stappen onderscheiden kan worden. In het examenprogramma voor wiskunde D heeft eindterm 7 in het bètabrede domein A2 betrekking op de activiteit Modelleren. Dynamische modellen (domein C en evt. F) heeft betrekking op een onderdeel van de modelleercyclus: minimaal het mathematiseren van een nauwkeurig omschreven onderwerp (een dynamisch systeem) en het onderzoeken van de wiskundige eigenschappen van de formule.

Subdomein C1 heeft betrekking op discrete dynamische modellen, vergelijkbaar met wat in domein Hb van het ‘oude’ vwo B12-programma staat, maar uiteraard minder gedetailleerd. De leerling moet rijen kunnen relateren aan een aantal zaken, waaronder webgrafieken en contexten en moeten het gedrag van een bepaalde rij kunnen beschrijven als stationair, convergerend of divergerend. In deze eindterm wordt bijvoorbeeld niet voorgeschreven dat de leerling zelf vergelijkingen opstelt, zelf webgrafieken tekent of met limieten kan werken. Relateren en beschrijven zijn de hier gevraagde activiteiten. Meer mag natuurlijk wel,de docent bepaalt de inhoud van het aangeboden programma.

Subdomein C2 heeft betrekking op continue dynamische modellen, vergelijkbaar met domein Cb van vwo B12. De leerling moet niet alleen in differentiaalvergelijkingen eigenschappen van de functie kunnen relateren aan eigenschappen van de oplossing maar ook in eenvoudige gevallen die oplossing zelf kunnen bepalen. Vergeleken met het oude domein Cb wordt hier niet geëist dat een leerling een richtingsveld kan gebruiken om een grafisch beeld te krijgen, een differentiaalvergelijking kan opstellen of de eigenschappen van een oplossing in termen van het gemodelleerde proces kan interpreteren.

Toepassingen voor continue modellen komen aan de orde in subdomein C3. Leerlingen moet de in C1 en C2 genoemde technieken kunnen gebruiken in concrete toepassingen. Dat hoeft geen toepassing buiten het gebied van de wiskunde te zijn, maar het mag wel.

In het keuzedomein F wordt een profielspecifieke verdieping genoemd, te denken valt aan disciplines als natuurkunde, scheikunde, biologie of een interdisciplinair onderwerp zoals in het nieuwe bètavak 'Natuur, leven en technologie' aangeboden wordt (zie paragraaf 6.3). Een wiskundig onderwerp mag trouwens ook volgens deze eindterm, dus u kunt er voor kiezen om het en hele onderwerp strikt wiskundig te houden.

Docenten kunnen bij dit onderwerp uitgaan van wiskundige begrippen en pas in een later stadium toepassingen laten zien. Het is ook heel goed mogelijk om te starten met het bredere begrip modelleren en een bepaalde context, b.v. een epidemie en van daaruit Dynamische modellen en de verschillende wiskundige begrippen een plaats te geven. In beide gevallen kunnen docenten gebruik maken van verschillende hulpmiddelen: pen-en-papier, GR, internet, modelleersoftware, lespakketjes, etc.

19. De kandidaat kan rijen relateren aan recurrente betrekkingen, iteraties, webgrafieken en contexten en kan het gedrag ervan beschrijven in termen van stationair, convergerend of divergerend.

20. De kandidaat kan in differentiaalvergelijkingen van de vorm y' = f (y, t) eigenschappen van f relateren aan eigenschappen van oplossingen, zoals het al dan niet stationair zijn, monotonie en asymptotisch gedrag en in eenvoudige gevallen een oplossing expliciet bepalen.

21. De kandidaat kan de stof uit de subdomeinen C1 en C2 gebruiken in concrete toepassingen.

Analytische meetkunde is lang weggeweest in de bovenbouw van het vwo. Een herinvoering is volgens cTWO wenselijk voor leerlingen die op academisch niveau verder gaan in science of techniek. Leerlingen leren dat zowel in de wiskunde zelf als in toepassingen ervan aan problemen met een meetkundig karakter vooral met analytische technieken gewerkt wordt. Gebruik van algebraïsche vaardigheden is cruciaal bij dit vakgebied.

In het domein "Meetkunde" wordt begonnen met de analytische aanpak van meetkunde, waarbij ook coördinaten in drie dimensies aan de orde komen. Punten, lijnen en vlakken worden gealgebraïseerd. Vervolgens wordt aansluiting gezocht met het meetkundeprogramma uit wiskunde B door invulling met kegelsneden. Ook onderwerpen uit het 'oude' wiskunde B12-programma die niet meer in het wiskunde B programma voorkomen komen aan bod.

Zowel inzicht in als ervaring met de analytische methode is essentieel in het gebruik van wiskunde in een meetkundige context. Het is tevens een belangrijk toepassings- en trainingsgebied voor algebra en algebraïsch modelleren, zoals het aanbrengen van een coördinatenstelsel, het kiezen van onbekenden en het opstellen van vergelijkingen. Daarnaast kunnen toepassingen van analytische methoden onderzocht worden met behulp van ICT.

Op www.ctwo.nl is een uitgebreide domeinbeschrijving van de analytische meetkunde te vinden. Daarin komen onder andere de te veronderstellen voorkennis, een gedetailleerde inhoudelijke beschrijving van de subdomeinen, de te beheersen (algebraïsche) technieken en de omvang en plaatsing in het programma aan bod.

Overladenheid moet bij dit domein worden voorkomen. Dat is een gevaar voor de te bereiken diepgang. De aandacht over de verschillende subdomeinen moet op een goede manier worden verdeeld. Docenten kunnen ervoor kiezen bepaalde subdomeinen alleen globaal te behandelen en anderen juist meer verdiepend.

22. De kandidaat kan analytische methoden en algebraïsche technieken toepassen op meetkundige problemen, ook bij bewijzen.

23. De kandidaat kan eigenschappen van aard en ligging van figuren in een vlak onderzoeken vanuit vergelijkingen en kan in een gegeven of zelfgekozen coördinatenstelsel vergelijkingen van figuren opstellen.

24. De kandidaat kan op verschillende manieren vergelijking van lijnen, cirkels en kegelsneden opstellen, en op grond van vergelijkingen ligging en eigenschappen van de bijbehorende figuren onderzoeken.

25. De kandidaat kan een parametrisering van een figuur gebruiken om eigenschappen ervan vast te stellen en kan in geschikte gevallen een parametrisering van een figuur opstellen.

26. De kandidaat kan de beschrijving van punten in de ruimte met drie coördinaten gebruiken, met name bij bollen en eenvoudige omwentelingsoppervlakken.

27. De kandidaat kan toepassingen van analytische meetkunde onderzoeken, ook met behulp van ICT.

Voor scholen die bijvoorbeeld door de geografische ligging geen samenwerking met een universiteit kunnen of willen realiseren is als alternatief het schoolmodel opgesteld. In dit model komen in plaats van "Wiskunde in wetenschap" de domeinen "Complexe getallen" en "Dynamische modellen 2" aan bod.

Voor de keuze van "Complexe getallen" is gepleit vanuit de vervolgopleidingen. Universiteiten hebben verschillend lesmateriaal op dit gebied ontwikkeld. Op de website van cTWO wordt dit lesmateriaal aangeboden. Ook is er uitgebreid lesmateriaal van verschillende scholen te vinden.
Naast het lesmateriaal is er op de website een presentatie te vinden met achtergrondinformatie voor docenten die met het beschikbare experimenteermateriaal over complexe getallen willen gaan werken. cTWO benadrukt dat het aanbeveling verdient om complexe getallen ook in een meetkundige context te behandelen. Onder andere het lesmateriaal dat is ontwikkeld door de TU Eindhoven geeft gehoor aan deze wens.

28. De kandidaat kan rekenen met complexe getallen, de geconjugeerde, het argument en de absolute waarde, kan de stelling van De Moivre gebruiken en kan rekenen met de formule van Euler als representatie van poolcoördinaten.

29. De kandidaat kan de stof van subdomein E1 gebruiken voor een profielspecifieke verdieping.

Op de site van cTWO staat in het voorstel voor een gedetailleerd programma een voorbeeld van een profielspecifieke verdieping die zuiver wiskundig is (Tweede orde differentiaalvergelijkingen).
’Profielspecifiek’ hoeft zich niet te beperken tot wiskunde, een verdieping vanuit een van de andere profielvakken kan uiteraard ook. Bijvoorbeeld een uitgave als "De wiskundige kat, de biologische muis en de jacht op inzicht" bevat vele aanknopingspunten uit de biologie. Ook natuurkunde geeft veel onderwerpen die geschikt zijnvoor dit domein.

Scholen kunnen er voor kiezen om voor 80 slu samenwerking met het hoger onderwijs een structurele plaats te geven in het examenprogramma. Het Rapport Wiskunde D 2007 zegt over dit domein: "Het beoogt leerlingen zicht te geven op wiskunde als wetenschap en op de manier waarop wiskunde binnen exacte wetenschappen functioneert. Het gaat hierbij niet alleen om de wiskundige resultaten, maar ook om het proces van het bedrijven van wetenschap. Wiskunde in wetenschap wordt vormgegeven in nauwe samenwerking met universiteiten. Een dergelijke samenwerking bevordert de doorlopende leerlijn van vo naar ho en komt niet alleen de kwaliteit en actualiteit van de inhoud ten goede, maar heeft ook een positief effect op de doorstroming."

In het examenprogramma is 40 slu gereserveerd voor een of meerdere keuzeonderwerpen. Dit geeft scholen, docenten en leerlingen de mogelijkheid een eigen invulling aan wiskunde D te geven. De onderwerpen kunnen ter verdieping aansluiten bij de vaste domeinen, maar kunnen ook voor verbreding zorgen vanuit nieuwe en actuele perspectieven, ook in andere exacte vakken. De onderwerpen kunnen, indien de school daarvoor kiest, voor elke kandidaat verschillend zijn.